Упр.5.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции $$y=f(x)$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=a$$ имеет с графиком одну общую точку, если $$f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq 2,\\[2pt]\dfrac{8}{x},&x>2.\end{cases}$$
б) Постройте график функции $$y=f(x)$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=a$$ имеет с графиком две общие точки, если $$f(x)=\begin{cases}-x-1,&x\leq 2,\\[2pt]-\dfrac{6}{x},&x>2.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Функция задана так:

$$f(x)= \begin{cases} x+2, & x\le 2,\\ \dfrac{8}{x}, & x>2. \end{cases}$$

Для первой части график — прямая $$y=x+2$$ при $$x\le 2$$. В точке $$x=2$$ получаем $$y=4$$.

Для второй части график — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x>2$$. При $$x=2$$ она тоже даёт $$y=4$$, но точка $$x=2$$ не входит в эту часть.

Прямая $$y=a$$ имеет с графиком одну общую точку:

при $$a=4$$ — касается графика в точке $$\left(2,4\right)$$;
при $$a<0$$ — пересекает только ветвь $$y=x+2$$, так как вторая часть принимает только положительные значения.

б) Функция задана так:

$$f(x)= \begin{cases} -x-1, & x\le 2,\\ -\dfrac{6}{x}, & x>2. \end{cases}$$

Первая часть — прямая $$y=-x-1$$ при $$x\le 2$$. В точке $$x=2$$ имеем $$y=-3$$.

Вторая часть — график $$y=-\dfrac{6}{x}$$ при $$x>2$$. Для $$x>2$$ значения этой функции лежат между $$-3$$ и $$0$$, не включая $$-3$$.

Прямая $$y=a$$ имеет с графиком две общие точки тогда и только тогда, когда она пересекает обе части графика, то есть при

$$-3<a<0.$$