Упр.5.56 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

f(x)={(-1/2 x+3,если x2
x-4,если x > 2)+
Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка (2;-2) не принадлежит графику. Ответьте на вопросы:
а) Какова область определения функции
б) Чему равно значение функции при x=-1; 0; 1; 2; 3
в) Сколько нулей имеет функция
г) На каких промежутках функция возрастает убывает
д) На каких промежутках функция положительна отрицательна

Функция задана формулой

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac12x+3, & x\le 2,\\ x-4, & x>2. \end{cases} $$

а) Область определения состоит из всех чисел, так как для каждого $x$ используется одна из двух формул.

б) Найдём значения функции:

$$ f(-1)=-\dfrac12\cdot(-1)+3=\dfrac12+3=3{,}5 $$

$$ f(0)=3 $$

$$ f(1)=-\dfrac12\cdot1+3=2{,}5 $$

$$ f(2)=-\dfrac12\cdot2+3=2 $$

$$ f(3)=3-4=-1 $$

в) Нуль функции найдём из уравнения $f(x)=0$.

Для $x\le 2$:

$$ -\dfrac12x+3=0 \Rightarrow x=6, $$

но $6>2$, значит этот корень не подходит.

Для $x>2$:

$$ x-4=0 \Rightarrow x=4. $$

Следовательно, функция имеет один нуль.

г) На промежутке $x\le 2$ функция $f(x)=-\dfrac12x+3$ убывает, так как коэффициент при $x$ отрицательный. На промежутке $x>2$ функция $f(x)=x-4$ возрастает.

д) Определим знак функции.

При $x\le 2$:

$$ -\dfrac12x+3>0 \quad \text{для всех } x\le 2, $$

значит здесь функция положительна.

При $x>2$:

$$ x-4>0 \iff x>4, $$

а

$$ x-4<0 \iff 2<x<4. $$

Значит, функция положительна при $x\le 2$ и $x>4$, а отрицательна при $2<x<4$.

Ответ

а) $D(f)=\mathbb{R}$.

б) $f(-1)=3{,}5$, $f(0)=3$, $f(1)=2{,}5$, $f(2)=2$, $f(3)=-1$.

в) Один нуль: $x=4$.

г) Убывает при $x\le 2$, возрастает при $x>2$.

д) Положительна при $x\le 2$ и $x>4$, отрицательна при $2<x<4$.