Упр.5.56 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
На рисунке 5.46 построен график функции $$f(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x+3, & \text{если } x\leqslant 2,\\ x-4, & \text{если } x>2.\end{cases}$$ Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка $$(2;-2)$$ не принадлежит графику.
Ответьте на вопросы:
а) Какова область определения функции?
б) Чему равно значение функции при $$x=-1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3$$?
в) Сколько нулей имеет функция?
г) На каких промежутках функция возрастает, убывает?
д) На каких промежутках функция положительна, отрицательна?
Функция задана формулой
$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac12x+3, & x\le 2,\\ x-4, & x>2. \end{cases}$$
а) Область определения состоит из всех чисел, так как для каждого $$x$$ используется одна из двух формул.
б) Найдём значения функции:
$$f(-1)=-\dfrac12\cdot(-1)+3=\dfrac12+3=3{,}5$$
$$f(0)=3$$
$$f(1)=-\dfrac12\cdot1+3=2{,}5$$
$$f(2)=-\dfrac12\cdot2+3=2$$
$$f(3)=3-4=-1$$
в) Нуль функции найдём из уравнения $$f(x)=0$$.
Для $$x\le 2$$:
$$-\dfrac12x+3=0 \Rightarrow x=6,$$
но $$6>2$$, значит этот корень не подходит.
Для $$x>2$$:
$$x-4=0 \Rightarrow x=4.$$
Следовательно, функция имеет один нуль.
г) На промежутке $$x\le 2$$ функция $$f(x)=-\dfrac12x+3$$ убывает, так как коэффициент при $$x$$ отрицательный. На промежутке $$x>2$$ функция $$f(x)=x-4$$ возрастает.
д) Определим знак функции.
При $$x\le 2$$:
$$-\dfrac12x+3>0 \quad \text{для всех } x\le 2,$$
значит здесь функция положительна.
При $$x>2$$:
$$x-4>0 \iff x>4,$$
а
$$x-4<0 \iff 2<x<4.$$
Значит, функция положительна при $$x\le 2$$ и $$x>4$$, а отрицательна при $$2<x<4$$.
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R}$$.
б) $$f(-1)=3{,}5$$, $$f(0)=3$$, $$f(1)=2{,}5$$, $$f(2)=2$$, $$f(3)=-1$$.
в) Один нуль: $$x=4$$.
г) Убывает при $$x\le 2$$, возрастает при $$x>2$$.
д) Положительна при $$x\le 2$$ и $$x>4$$, отрицательна при $$2<x<4$$.
