Упр.4.85 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его периметр равен 30 см. Найдите катеты треугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$ см. Тогда по условию:

$$ 2(a+b)=28,\qquad a^2+b^2=10^2=100. $$

Из первого уравнения получаем:

$$ a+b=14,\qquad a=14-b. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ (14-b)^2+b^2=100 $$
$$ 196-28b+b^2+b^2=100 $$
$$ 2b^2-28b+96=0 $$
$$ b^2-14b+48=0 $$
$$ (b-6)(b-8)=0. $$

Отсюда $$b=6$$ или $$b=8$$. Тогда $$a=8$$ или $$a=6$$.

Значит, стороны прямоугольника равны $$6$$ см и $$8$$ см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$ см. Тогда:

$$ a^2+b^2=13^2=169,\qquad a+b+13=30. $$

Из второго уравнения:

$$ a+b=17,\qquad a=17-b. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (17-b)^2+b^2=169 $$
$$ 289-34b+b^2+b^2=169 $$
$$ 2b^2-34b+120=0 $$
$$ b^2-17b+60=0 $$
$$ (b-5)(b-12)=0. $$

Следовательно, $$b=5$$ или $$b=12$$. Тогда $$a=12$$ или $$a=5$$.

Катеты треугольника равны $$5$$ см и $$12$$ см.

Ответ

а) $$6$$ см и $$8$$ см; б) $$5$$ см и $$12$$ см.