Упр.4.85 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. а) Периметр прямоугольника $$28\text{ см}$$, а его диагональ равна $$10\text{ см}$$. Найдите стороны прямоугольника. б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$13\text{ см}$$, а его периметр равен $$30\text{ см}$$. Найдите катеты треугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$ см. Тогда по условию:

$$2(a+b)=28,\qquad a^2+b^2=10^2=100.$$

Из первого уравнения получаем:

$$a+b=14,\qquad a=14-b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(14-b)^2+b^2=100$$
$$196-28b+b^2+b^2=100$$
$$2b^2-28b+96=0$$
$$b^2-14b+48=0$$
$$(b-6)(b-8)=0.$$

Отсюда $$b=6$$ или $$b=8$$. Тогда $$a=8$$ или $$a=6$$.

Значит, стороны прямоугольника равны $$6$$ см и $$8$$ см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$ см. Тогда:

$$a^2+b^2=13^2=169,\qquad a+b+13=30.$$

Из второго уравнения:

$$a+b=17,\qquad a=17-b.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(17-b)^2+b^2=169$$
$$289-34b+b^2+b^2=169$$
$$2b^2-34b+120=0$$
$$b^2-17b+60=0$$
$$(b-5)(b-12)=0.$$

Следовательно, $$b=5$$ или $$b=12$$. Тогда $$a=12$$ или $$a=5$$.

Катеты треугольника равны $$5$$ см и $$12$$ см.

Ответ

а) $$6$$ см и $$8$$ см; б) $$5$$ см и $$12$$ см.