Упр.4.77 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
а) x^2-y^2=64
б) x^2-y^2=15
в) x^2-y^2=44
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
$$x^2-y^2=64$$
$$ (x-y)(x+y)=64 $$
Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x>y$, значит оба множителя положительны. Подбираем разложения числа $64$ на два множителя одной чётности:
$$64=1\cdot 64,\quad 64=2\cdot 32,\quad 64=4\cdot 16.$$
Решаем системы:
$$ \begin{cases} x-y=1\\ x+y=64 \end{cases} \Rightarrow 2x=65 $$
— не подходит, так как $x$ не натуральное.$$ \begin{cases} x-y=2\\ x+y=32 \end{cases} \Rightarrow 2x=34,\ x=17,\ y=15. $$
$$ \begin{cases} x-y=4\\ x+y=16 \end{cases} \Rightarrow 2x=20,\ x=10,\ y=6. $$
$$x^2-y^2=15$$
$$ (x-y)(x+y)=15 $$
Разложения числа $15$ на два множителя одной чётности:
$$15=1\cdot 15,\quad 15=3\cdot 5.$$
$$ \begin{cases} x-y=1\\ x+y=15 \end{cases} \Rightarrow 2x=16,\ x=8,\ y=7. $$
$$ \begin{cases} x-y=3\\ x+y=5 \end{cases} \Rightarrow 2x=8,\ x=4,\ y=1. $$
$$x^2-y^2=44$$
$$ (x-y)(x+y)=44 $$
Разложения числа $44$ на два множителя одной чётности:
$$44=2\cdot 22,\quad 44=4\cdot 11.$$
$$ \begin{cases} x-y=2\\ x+y=22 \end{cases} \Rightarrow 2x=24,\ x=12,\ y=10. $$
$$ \begin{cases} x-y=4\\ x+y=11 \end{cases} \Rightarrow 2x=15, $$
откуда $x$ не натуральное, значит этот вариант не подходит.
Ответ
а) $17$ и $15$; $10$ и $6$.
б) $8$ и $7$; $4$ и $1$.
в) $12$ и $10$.
