Упр.4.77 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) $$x^2-y^2=64$$
б) $$x^2-y^2=15$$
в) $$x^2-y^2=44$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
$$x^2-y^2=64$$
$$(x-y)(x+y)=64$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$x>y$$, значит оба множителя положительны. Подбираем разложения числа $$64$$ на два множителя одной чётности:
$$64=1\cdot 64,\quad 64=2\cdot 32,\quad 64=4\cdot 16.$$
Решаем системы:
$$\begin{cases} x-y=1\\ x+y=64 \end{cases} \Rightarrow 2x=65$$
— не подходит, так как $$x$$ не натуральное.$$\begin{cases} x-y=2\\ x+y=32 \end{cases} \Rightarrow 2x=34,\ x=17,\ y=15.$$
$$\begin{cases} x-y=4\\ x+y=16 \end{cases} \Rightarrow 2x=20,\ x=10,\ y=6.$$
$$x^2-y^2=15$$
$$(x-y)(x+y)=15$$
Разложения числа $$15$$ на два множителя одной чётности:
$$15=1\cdot 15,\quad 15=3\cdot 5.$$
$$\begin{cases} x-y=1\\ x+y=15 \end{cases} \Rightarrow 2x=16,\ x=8,\ y=7.$$
$$\begin{cases} x-y=3\\ x+y=5 \end{cases} \Rightarrow 2x=8,\ x=4,\ y=1.$$
$$x^2-y^2=44$$
$$(x-y)(x+y)=44$$
Разложения числа $$44$$ на два множителя одной чётности:
$$44=2\cdot 22,\quad 44=4\cdot 11.$$
$$\begin{cases} x-y=2\\ x+y=22 \end{cases} \Rightarrow 2x=24,\ x=12,\ y=10.$$
$$\begin{cases} x-y=4\\ x+y=11 \end{cases} \Rightarrow 2x=15,$$
откуда $$x$$ не натуральное, значит этот вариант не подходит.
Ответ
а) $$17$$ и $$15$$; $$10$$ и $$6$$.
б) $$8$$ и $$7$$; $$4$$ и $$1$$.
в) $$12$$ и $$10$$.
