Упр.4.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) {(1/x+1/y=2
1/x+3/y=7)+
б) {(1/x-3/y=1
3/x-1/y=1)+
в) {(2/x+1/y=5
4/x-4/y=4)+
г) {(1/x+1/y=10
1/2x-1/2y=1)+

1. а) Введём замену: $$\frac{1}{x}=a,\quad \frac{1}{y}=b.$$ Тогда получаем систему

   $$ \begin{cases} a+b=2,\\ a+3b=7. \end{cases} $$

   Вычтем из второго уравнения первое:

   $$2b=5,\quad b=\frac{5}{2}.$$

   Тогда

   $$a=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}.$$

   Возвращаемся к исходным переменным:

   $$\frac{1}{x}=-\frac{1}{2},\quad \frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x=-2,\quad y=\frac{2}{5}.$$

2. б) Введём замену: $$\frac{1}{x}=a,\quad \frac{1}{y}=b.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} a-3b=1,\\ 3a-b=1. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $3$:

   $$3a-9b=3.$$

   Вычтем из него второе уравнение:

   $$-8b=2,\quad b=-\frac{1}{4}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$a-3\left(-\frac{1}{4}\right)=1,\quad a=\frac{1}{4}.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{x}=\frac{1}{4},\quad \frac{1}{y}=-\frac{1}{4},$$

   откуда

   $$x=4,\quad y=-4.$$

3. в) Введём замену: $$\frac{1}{x}=a,\quad \frac{1}{y}=b.$$ Получаем

   $$ \begin{cases} 2a+b=5,\\ 4a-4b=4. \end{cases} $$

   Второе уравнение разделим на $4$:

   $$a-b=1.$$

   Сложим уравнения системы:

   $$ \begin{cases} 2a+b=5,\\ a-b=1 \end{cases} \Rightarrow 3a=6,\quad a=2. $$

   Тогда

   $$b=1.$$

   Следовательно,

   $$\frac{1}{x}=2,\quad \frac{1}{y}=1,$$

   значит,

   $$x=\frac{1}{2},\quad y=1.$$

4. г) Введём замену: $$\frac{1}{x}=a,\quad \frac{1}{y}=b.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} a+b=10,\\ \frac{a}{2}-\frac{b}{2}=1. \end{cases} $$

   Умножим второе уравнение на $2$:

   $$a-b=2.$$

   Сложим уравнения:

   $$ \begin{cases} a+b=10,\\ a-b=2 \end{cases} \Rightarrow 2a=12,\quad a=6. $$

   Тогда

   $$b=4.$$

   Возвращаемся к исходным переменным:

   $$\frac{1}{x}=6,\quad \frac{1}{y}=4,$$

   откуда

   $$x=\frac{1}{6},\quad y=\frac{1}{4}.$$

Ответ

а) $$x=-2,\ y=\frac{2}{5}$$; б) $$x=4,\ y=-4$$; в) $$x=\frac{1}{2},\ y=1$$; г) $$x=\frac{1}{6},\ y=\frac{1}{4}$$.