Упр.4.70 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Пересекаются ли парабола и прямая? Если да, укажите координаты точек пересечения: а) $$y=x^2$$ и $$x+y=2$$; б) $$y=x^2$$ и $$x-y=1$$; в) $$y+x^2=0$$ и $$y=-2x-3$$; г) $$y-x^2=0$$ и $$y=-x-5$$.

а) $$y=x^2,\quad x+y=2$$

Подставим $$y=x^2$$ во второе уравнение:

$$x+x^2=2$$

$$x^2+x-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=1$$

Тогда

$$y_1=(-2)^2=4,\quad y_2=1^2=1$$

Точки пересечения: $$(-2;4)$$ и $$(1;1)$$.

б) $$y=x^2,\quad x-y=1$$

Подставим $$y=x^2$$:

$$x-x^2=1$$

$$x^2-x+1=0$$

$$D=1-4=-3<0$$

Действительных корней нет, значит, прямая и парабола не пересекаются.

в) $$y+x^2=0,\quad y=-2x-3$$

Из первого уравнения получаем $$y=-x^2$$. Подставим во второе:

$$-x^2=-2x-3$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$x_1=3,\quad x_2=-1$$

Найдём $$y$$:

$$y_1=-2\cdot 3-3=-9,\quad y_2=-2\cdot(-1)-3=-1$$

Точки пересечения: $$(3;-9)$$ и $$(-1;-1)$$.

г) $$y-x^2=0,\quad y=-x-5$$

Подставим $$y=x^2$$ во второе уравнение:

$$x^2=-x-5$$

$$x^2+x+5=0$$

$$D=1-20=-19<0$$

Действительных корней нет, значит, прямая и парабола не пересекаются.

Ответ

а) $$(-2;4)$$, $$(1;1)$$;
б) не пересекаются;
в) $$(3;-9)$$, $$(-1;-1)$$;
г) не пересекаются.