Упр.4.65 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) {(2x+8y=10
5x+20y=25)+
б) {(4x-12y=40
5x-15y=50)+
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.
2) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:
а) {(3x+6y=-3
4x+8y=2)+
б) {(6x+2y=1
9x+3y=9)+
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.
3) Дано уравнение 5x+y=8. Составьте еще одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:
а) имеющую бесконечно много решений;
б) не имеющую решений.
4) Существует ли такое значение a, при котором система уравнений
{(ax+3y=6
2x+y=18)+
имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.

1. Проверим, являются ли прямые совпадающими.

   а)

   $$\begin{cases} 2x+8y=10 \\ 5x+20y=25 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$5$$:
   $$\begin{cases} x+4y=5 \\ x+4y=5 \end{cases}$$
   Прямые совпадают.

   б)

   $$\begin{cases} 4x-12y=40 \\ 5x-15y=50 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на $$4$$, второе — на $$5$$:
   $$\begin{cases} x-3y=10 \\ x-3y=10 \end{cases}$$
   Прямые совпадают.

   Признак бесконечного числа решений:

   $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$

2. Проверим, являются ли прямые параллельными.

   а)

   $$\begin{cases} 3x+6y=-3 \\ 4x+8y=2 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$4$$:
   $$\begin{cases} x+2y=-1 \\ x+2y=0{,}5 \end{cases}$$
   Коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет, значит, прямые параллельны.

   б)

   $$\begin{cases} 6x+2y=1 \\ 9x+3y=9 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:
   $$\begin{cases} 3x+y=0{,}5 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$
   Прямые параллельны.

   Признак отсутствия решений:

   $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}.$$

3. Дано уравнение $$5x+y=8$$.

   а) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Например:

   $$2{,}5x+\frac{1}{2}y=4.$$

   б) Чтобы решений не было, возьмём уравнение с теми же коэффициентами при $$x$$ и $$y$$, но с другим свободным членом. Например:

   $$5x+y=5.$$

4. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} ax+3y=6 \\ 2x+y=18 \end{cases}$$

   Для бесконечного числа решений должно выполняться

   $$\frac{a}{2}=\frac{3}{1}=\frac{6}{18}.$$

   Но $$\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$, а $$\frac{3}{1}\ne\frac{1}{3}$$, значит, бесконечно много решений быть не может.

   Для отсутствия решений нужно, чтобы коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ были пропорциональны, а свободные члены — нет:

   $$\frac{a}{2}=\frac{3}{1}\ne\frac{6}{18}.$$

   Отсюда

   $$a=6.$$

Ответ

1) а) и б) — совпадающие прямые; признак: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$.
2) а) и б) — параллельные прямые; признак: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$$.
3) а) например, $$2{,}5x+\frac{1}{2}y=4$$; б) например, $$5x+y=5$$.
4) $$a=6$$; бесконечно много решений быть не может.