Упр.4.65 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:
а) $$\begin{cases}2x+8y=10\\5x+20y=25\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}4x-12y=40\\5x-15y=50\end{cases}$$
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при $$x$$, коэффициентов при $$y$$ и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений. - Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:
а) $$\begin{cases}3x+6y=-3\\4x+8y=2\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}6x+2y=1\\9x+3y=9\end{cases}$$
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при $$x$$, коэффициентов при $$y$$ и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений. - Дано уравнение $$5x+y=8$$. Составьте еще одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:
а) имеющую бесконечно много решений;
б) не имеющую решений. - Существует ли такое значение $$a$$, при котором система уравнений $$\begin{cases}ax+3y=6\\2x+y=18\end{cases}$$ имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.
Проверим, являются ли прямые совпадающими.
а)
$$\begin{cases} 2x+8y=10 \\ 5x+20y=25 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$5$$:
$$\begin{cases} x+4y=5 \\ x+4y=5 \end{cases}$$
Прямые совпадают.б)
$$\begin{cases} 4x-12y=40 \\ 5x-15y=50 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на $$4$$, второе — на $$5$$:
$$\begin{cases} x-3y=10 \\ x-3y=10 \end{cases}$$
Прямые совпадают.Признак бесконечного числа решений:
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$
Проверим, являются ли прямые параллельными.
а)
$$\begin{cases} 3x+6y=-3 \\ 4x+8y=2 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$4$$:
$$\begin{cases} x+2y=-1 \\ x+2y=0{,}5 \end{cases}$$
Коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет, значит, прямые параллельны.б)
$$\begin{cases} 6x+2y=1 \\ 9x+3y=9 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:
$$\begin{cases} 3x+y=0{,}5 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$
Прямые параллельны.Признак отсутствия решений:
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}.$$
Дано уравнение $$5x+y=8$$.
а) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Например:
$$2{,}5x+\frac{1}{2}y=4.$$
б) Чтобы решений не было, возьмём уравнение с теми же коэффициентами при $$x$$ и $$y$$, но с другим свободным членом. Например:
$$5x+y=5.$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} ax+3y=6 \\ 2x+y=18 \end{cases}$$
Для бесконечного числа решений должно выполняться
$$\frac{a}{2}=\frac{3}{1}=\frac{6}{18}.$$
Но $$\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$, а $$\frac{3}{1}\ne\frac{1}{3}$$, значит, бесконечно много решений быть не может.
Для отсутствия решений нужно, чтобы коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ были пропорциональны, а свободные члены — нет:
$$\frac{a}{2}=\frac{3}{1}\ne\frac{6}{18}.$$
Отсюда
$$a=6.$$
Ответ
1) а) и б) — совпадающие прямые; признак: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$.
2) а) и б) — параллельные прямые; признак: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$$.
3) а) например, $$2{,}5x+\frac{1}{2}y=4$$; б) например, $$5x+y=5$$.
4) $$a=6$$; бесконечно много решений быть не может.
