Упр.4.61 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. 4-61. Известно, что одно из двух уравнений системы — это уравнение $$y=0,5x-3$$, а вторым уравнением может быть любое уравнение из следующих: $$2y-x=0$$, $$x+2y=0$$, $$x-2y=6$$, $$4y-2x=6$$, $$4y+2x=6$$, $$2y-x+6=0$$. Используя графические представления, установите в каждом случае, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько — одно или бесконечное множество.

1. $$\begin{cases} y=0{,}5x-3 \\ 2y-x=0 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$y=0{,}5x-3 \;\Rightarrow\; 2y=x-6 \;\Rightarrow\; 2y-x=-6.$$
   Получаем систему
   $$\begin{cases} 2y-x=-6 \\ 2y-x=0 \end{cases}$$
   Прямые параллельны, значит решений нет.
2. $$\begin{cases} y=0{,}5x-3 \\ x+2y=0 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$2y-x=-6.$$
   Второе уравнение:
   $$x+2y=0 \;\Rightarrow\; 2y+x=0.$$
   Прямые пересекаются, значит система имеет одно решение.
3. $$\begin{cases} y=0{,}5x-3 \\ x-2y=6 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$2y-x=-6 \;\Rightarrow\; x-2y=6.$$
   Оба уравнения задают одну и ту же прямую, значит решений бесконечно много.
4. $$\begin{cases} y=0{,}5x-3 \\ 4y-2x=6 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$2y-x=-6.$$
   Второе уравнение:
   $$4y-2x=6 \;\Rightarrow\; 2y-x=3.$$
   Получаем две параллельные прямые, значит решений нет.
5. $$\begin{cases} y=0{,}5x-3 \\ 4y+2x=6 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$2y-x=-6.$$
   Второе уравнение:
   $$4y+2x=6 \;\Rightarrow\; 2y+x=3.$$
   Прямые пересекаются, значит система имеет одно решение.
6. $$\begin{cases} y=0{,}5x-3 \\ 2y-x+6=0 \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$2y-x=-6.$$
   Второе уравнение:
   $$2y-x+6=0 \;\Rightarrow\; 2y-x=-6.$$
   Оба уравнения совпадают, значит решений бесконечно много.

Ответ

1) решений нет; 2) одно решение; 3) бесконечно много решений; 4) решений нет; 5) одно решение; 6) бесконечно много решений.