Упр.4.103 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Четыре точки заданы своими координатами: $$A(-5;6)$$, $$B(7;2)$$, $$C(5;1)$$, $$D(-4;4)$$. Определите, параллельны ли прямые: а) $$AB$$ и $$CD$$; б) $$BC$$ и $$AD$$.

Подробный ответ

Найдём угловые коэффициенты прямых по формуле $$y=kx+l$$. Если коэффициенты равны, то прямые параллельны.

а) Прямые AB и CD

Для прямой $$AB$$ через точки $$A(-5;6)$$ и $$B(7;2)$$:

$$\begin{cases} 6=-5k+l \\ 2=7k+l \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$4=-12k,\quad k=-\frac13.$$
Тогда
$$2=7\cdot\left(-\frac13\right)+l,\quad l=\frac{13}{3}.$$
Значит, $$AB: \ y=-\frac13x+\frac{13}{3}.$$

Для прямой $$CD$$ через точки $$C(5;1)$$ и $$D(-4;4)$$:

$$\begin{cases} 1=5k+l \\ 4=-4k+l \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3=-9k,\quad k=-\frac13.$$
Тогда
$$1=5\cdot\left(-\frac13\right)+l,\quad l=\frac83.$$
Значит, $$CD: \ y=-\frac13x+\frac83.$$

Так как $$k_{AB}=k_{CD}=-\frac13$$, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны.

б) Прямые BC и AD

Для прямой $$BC$$ через точки $$B(7;2)$$ и $$C(5;1)$$:

$$\begin{cases} 2=7k+l \\ 1=5k+l \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$1=2k,\quad k=\frac12.$$
Тогда
$$1=5\cdot\frac12+l,\quad l=-\frac32.$$
Значит, $$BC: \ y=\frac12x-\frac32.$$

Для прямой $$AD$$ через точки $$A(-5;6)$$ и $$D(-4;4)$$:

$$\begin{cases} 6=-5k+l \\ 4=-4k+l \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$2=-k,\quad k=-2.$$
Тогда
$$4=-4\cdot(-2)+l,\quad l=-4.$$
Значит, $$AD: \ y=-2x-4.$$

Так как $$k_{BC}=\frac12$$ и $$k_{AD}=-2$$, прямые $$BC$$ и $$AD$$ не параллельны.