Упр.4.100 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

б) Определите, проходят ли прямые 2x-3y=1, x+y=3 и 3x-y=5 через одну точку.

а) Найдём точку пересечения прямых $$2x+y=2$$ и $$x-y=4$$.

Сложим уравнения:

$$ \begin{aligned} 2x+y&=2 \\ x-y&=4 \\ \hline 3x&=6 \end{aligned} $$

Отсюда $$x=2$$. Подставим в уравнение $$x-y=4$$:

$$2-y=4,\quad y=-2.$$

Точка пересечения: $$\left(2;\,-2\right).$$

Проверим, проходит ли через эту точку прямая $$x+2y=6$$:

$$2+2\cdot(-2)=2-4=-2\neq 6.$$

Значит, эта прямая через найденную точку не проходит.

б) Проверим, проходят ли прямые $$2x-3y=1$$, $$x+y=3$$ и $$3x-y=5$$ через одну точку.

Решим систему из первых двух уравнений:

$$ \begin{aligned} x+y&=3 \\ 3x-y&=5 \\ \hline 4x&=8 \end{aligned} $$

Получаем $$x=2$$, тогда $$y=3-2=1.$$

Проверим третье уравнение:

$$2\cdot 2-3\cdot 1=4-3=1.$$

Равенство верно, значит, все три прямые проходят через одну точку $$\left(2;\,1\right).$$

Ответ

а) $$\left(2;\,-2\right)$$; прямая $$x+2y=6$$ через эту точку не проходит.
б) Да, все три прямые проходят через одну точку $$\left(2;\,1\right).$$