Упр.3.83 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. 8. Решите уравнение:
   а) $$(x^2-1)^3+2(x^2-1)^2=0$$;
   б) $$x^2(x-1)-3x(x-1)=0$$;
   в) $$x^2(x^2-3)^2-4(x^2-3)=0$$;
   г) $$x^2(x-5)^2-5(x-5)^2=0$$.

1. а)

   $$(x^2-1)^3+2(x^2-1)^2=0$$
   $$(x^2-1)^2\bigl((x^2-1)+2\bigr)=0$$
   $$(x^2-1)^2(x^2+1)=0$$
   $$(x^2-1)^2=0 \quad \text{или} \quad x^2+1=0$$
   $$x^2-1=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=1 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 1$$
   Уравнение $$x^2+1=0$$ действительных корней не имеет.

2. б)

   $$x^2(x-1)-3x(x-1)=0$$
   $$(x-1)(x^2-3x)=0$$
   $$(x-1)x(x-3)=0$$
   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=0 \quad \text{или} \quad x=3$$

3. в)

   $$x^2(x^2-3)^2-4(x^2-3)=0$$
   $$(x^2-3)\bigl(x^2(x^2-3)-4\bigr)=0$$
   $$(x^2-3)(x^4-3x^2-4)=0$$
   $$x^2-3=0 \quad \text{или} \quad x^4-3x^2-4=0$$
   Из первого:
   $$x=\pm \sqrt{3}$$
   Во втором уравнении сделаем замену $$y=x^2$$:
   $$y^2-3y-4=0$$
   $$(y-4)(y+1)=0$$
   $$y=4 \quad \text{или} \quad y=-1$$
   Так как $$y=x^2\ge 0$$, то $$y=-1$$ не подходит, а из $$y=4$$ получаем
   $$x^2=4 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 2$$

4. г)

   $$x^2(x-5)^2-5(x-5)^2=0$$
   $$(x-5)^2(x^2-5)=0$$
   $$x-5=0 \quad \text{или} \quad x^2-5=0$$
   $$x=5 \quad \text{или} \quad x=\pm \sqrt{5}$$

Ответ

а) $$x=\pm 1$$;
б) $$x=0,\ 1,\ 3$$;
в) $$x=\pm \sqrt{3},\ \pm 2$$;
г) $$x=\pm \sqrt{5},\ 5$$.