Упр.3.77 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. а) Катеты прямоугольного треугольника относятся как $$3:4$$, а его гипотенуза равна $$1$$ дм. Найдите периметр треугольника.
   б) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $$\frac{17}{8}$$, а другой катет равен $$30$$ см. Найдите площадь треугольника.

1. Пусть на одну часть приходится $$x$$ дм. Тогда катеты равны $$3x$$ и $$4x$$, а гипотенуза равна $$1$$ дм.

   По теореме Пифагора:

   $$(3x)^2+(4x)^2=1^2$$

   $$9x^2+16x^2=1$$

   $$25x^2=1$$

   $$x^2=\frac{1}{25}, \quad x=\frac{1}{5}$$

   Тогда катеты:

   $$3x=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}\text{ дм}=6\text{ см}$$

   $$4x=4\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5}\text{ дм}=8\text{ см}$$

   Гипотенуза: $$1\text{ дм}=10\text{ см}$$.

   Периметр:

   $$6+8+10=24\text{ см}$$

2. Пусть на одну часть приходится $$x$$ см. Тогда гипотенуза равна $$17x$$, а один из катетов — $$8x$$. Другой катет равен $$30$$ см.

   По теореме Пифагора:

   $$(17x)^2-(8x)^2=30^2$$

   $$289x^2-64x^2=900$$

   $$225x^2=900$$

   $$x^2=4,\quad x=2$$

   Тогда второй катет:

   $$8x=8\cdot 2=16\text{ см}$$

   Площадь треугольника:

   $$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 30=240\text{ см}^2$$

Ответ

а) $$24\text{ см}$$; б) $$240\text{ см}^2$$.