Упр.3.67 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

2) Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Убедитесь в том, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению.

1) Обозначим меньшую часть через $$b$$, большую — через $$a$$. По условию золотого сечения

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}.$$

Пусть $$b=1$$. Тогда

$$\frac{a+1}{a}=a.$$

Умножим на $$a$$:

$$a+1=a^2$$

$$a^2-a-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5,$$

$$a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

Отрицательный корень не подходит, поэтому

$$a=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx \frac{1+2{,}236}{2}\approx 1{,}618.$$

2) Если меньшая сторона прямоугольника равна $$35$$ мм, то большая сторона равна

$$35\cdot 1{,}618\approx 56{,}63\text{ мм}.$$

После отрезания квадрата со стороной $$35$$ мм остаётся прямоугольник со сторонами $$35$$ мм и

$$56{,}63-35=21{,}63\text{ мм}.$$

Проверим отношение сторон:

$$\frac{35}{21{,}63}\approx 1{,}62,$$

то есть оно снова близко к числу золотого сечения.

Ответ

$$\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618.$$ Прямоугольник со сторонами $$35$$ мм и $$56{,}63$$ мм после отрезания квадрата даёт новый прямоугольник со сторонами $$35$$ мм и $$21{,}63$$ мм, отношение которых также примерно равно $$1{,}618$$.