Упр.3.64 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

Пусть на плоскости отмечено $$n$$ точек. Тогда число отрезков, соединяющих все пары точек, равно

$$\frac{n(n-1)}{2}.$$

По условию:

$$\frac{n(n-1)}{2}=105.$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$n(n-1)=210.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$n^2-n-210=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot210=841,$$

$$\sqrt{D}=29.$$

Тогда

$$n=\frac{1\pm29}{2}.$$

Имеем:

$$n_1=\frac{1-29}{2}=-14,$$

$$n_2=\frac{1+29}{2}=15.$$

Отрицательное значение не подходит, значит, на плоскости было отмечено $$15$$ точек.

Ответ

15 точек.