Упр.3.59 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 8 класс, Просвещение: Существует ли прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются последовательными четными числами? последовательными нечетными числами?

Пусть стороны прямоугольного треугольника выражаются последовательными чётными числами: $$n,\; n+2,\; n+4.$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$n^2+(n+2)^2=(n+4)^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$n^2+n^2+4n+4=n^2+8n+16$$

$$n^2-4n-12=0$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64$$

$$n=\frac{4\pm 8}{2}$$

$$n_1=6,\quad n_2=-2$$

Отрицательное значение не подходит, значит, $$n=6$$. Тогда стороны треугольника:

$$6,\; 8,\; 10.$$

Проверим для последовательных нечётных чисел: пусть стороны равны $$n,\; n+2,\; n+4$$, где все числа нечётные. Тогда аналогично получаем те же возможные значения сторон $$6,\; 8,\; 10,$$ но среди них есть чётные числа, значит, последовательными нечётными числами они быть не могут.

Ответ

Прямоугольный треугольник со сторонами, выражающимися последовательными чётными числами, существует: это треугольник со сторонами $$6,\; 8,\; 10.$$
Со сторонами, выражающимися последовательными нечётными числами, не существует.