Упр.3.51 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 8 класс, Просвещение: Тысячи лет назад пифагорейцы исследовали фигурные числа, и в частности треугольные числа, которые изображаются в виде треугольников (рис.3.4). Треугольное число с номером n равно n(n+1)/2. Есть ли среди треугольных чисел число 30? число 120? Если есть, укажите его номер.

Треугольное число с номером $$n$$ равно $$\frac{n(n+1)}{2}$$.

Проверим, является ли число $$30$$ треугольным:

$$\frac{n(n+1)}{2}=30$$

$$n(n+1)=60$$

$$n^2+n-60=0$$

$$D=1+4\cdot 60=241$$

$$n_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{241}}{2}$$

Корни не являются натуральными числами, значит, треугольного числа $$30$$ не существует.

Проверим число $$120$$:

$$\frac{n(n+1)}{2}=120$$

$$n(n+1)=240$$

$$n^2+n-240=0$$

$$D=1+4\cdot 240=961$$

$$\sqrt{D}=31$$

$$n_{1,2}=\frac{-1\pm 31}{2}$$

$$n_1=-16,\quad n_2=15$$

Натуральное значение подходит только $$n=15$$, значит, $$120$$ — треугольное число под номером $$15$$.

Ответ

Числа $$30$$ среди треугольных чисел нет; число $$120$$ — треугольное число под номером $$15$$.