Упр.3.50 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 8 класс, Просвещение: Число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2. Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей? 25 диагоналей? Если существует, то укажите число его сторон.

Число диагоналей выпуклого $$n$$-угольника равно

$$\frac{n(n-3)}{2}.$$

1) Проверим, может ли быть 77 диагоналей:

$$\frac{n(n-3)}{2}=77$$

$$n(n-3)=154$$

$$n^2-3n-154=0$$

$$D=9+4\cdot154=625,$$

$$\sqrt{D}=25.$$

Тогда

$$n=\frac{3\pm25}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{3-25}{2}=-11 \quad \text{не подходит},$$

$$n_2=\frac{3+25}{2}=14.$$

Значит, существует выпуклый многоугольник с 77 диагоналями, и у него $$14$$ сторон.

2) Проверим, может ли быть 25 диагоналей:

$$\frac{n(n-3)}{2}=25$$

$$n(n-3)=50$$

$$n^2-3n-50=0$$

$$D=9+200=209.$$

Так как $$209$$ не является квадратом натурального числа, корни уравнения не являются натуральными числами.

Следовательно, выпуклого многоугольника с 25 диагоналями не существует.

Ответ

77 диагоналей — существует, $$14$$ сторон; 25 диагоналей — не существует.