Упр.3.48 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Один катет прямоугольного треугольника на $$7\ \text{см}$$ больше другого, а периметр треугольника равен $$30\ \text{см}$$. Найдите все стороны треугольника.

Пусть один катет равен $$a$$ см, тогда другой катет равен $$a+7$$ см. Тогда гипотенуза:

$$30-a-(a+7)=23-2a.$$

По теореме Пифагора составим уравнение:

$$(23-2a)^2=a^2+(a+7)^2$$

Раскроем скобки:

$$529-92a+4a^2=a^2+a^2+14a+49$$

$$2a^2-106a+480=0$$

$$a^2-53a+240=0$$

Найдём корни:

$$D=53^2-4\cdot240=2809-960=1849,\quad \sqrt{D}=43$$

$$a=\frac{53\pm43}{2}$$

$$a_1=\frac{53-43}{2}=5,\qquad a_2=\frac{53+43}{2}=48$$

Значение $$48$$ не подходит, так как тогда стороны треугольника не могут иметь такой периметр. Значит, $$a=5$$ см.

Тогда второй катет:

$$a+7=5+7=12$$

Гипотенуза:

$$23-2a=23-2\cdot5=13$$

Ответ

$$5\text{ см},\ 12\text{ см},\ 13\text{ см}$$