Упр.3.3 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
Покажите, что: а) числа $$-7$$ и $$5$$ являются корнями уравнения $$x^2+2x-35=0$$; б) число $$\frac{2}{3}$$ является корнем уравнения $$3x^2+x-2=0$$, а число $$-2$$ не является; в) числа $$1-\sqrt{2}$$ и $$1+\sqrt{2}$$ являются корнями уравнения $$x^2-2x-1=0$$; г) число $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ является корнем уравнения $$x^2-x-1=0$$, а число $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ нет.
Проверим числа $$-7$$ и $$5$$ для уравнения $$x^2+2x-35=0$$:
$$(-7)^2+2\cdot(-7)-35=49-14-35=0$$
$$5^2+2\cdot5-35=25+10-35=0$$
Значит, числа $$-7$$ и $$5$$ являются корнями уравнения.
Проверим число $$\frac{2}{3}$$ для уравнения $$3x^2+x-2=0$$:
$$3\left(\frac{2}{3}\right)^2+\frac{2}{3}-2=3\cdot\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-2=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-2=2-2=0$$
Значит, $$\frac{2}{3}$$ — корень уравнения.
Проверим число $$-2$$:
$$3\cdot(-2)^2+(-2)-2=3\cdot4-2-2=12-4=8\neq0$$
Значит, число $$-2$$ не является корнем.
Проверим числа $$1-\sqrt{2}$$ и $$1+\sqrt{2}$$ для уравнения $$x^2-2x-1=0$$:
$$(1-\sqrt{2})^2-2(1-\sqrt{2})-1 =1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}-1=0$$
$$(1+\sqrt{2})^2-2(1+\sqrt{2})-1 =1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}-1=0$$
Оба числа являются корнями уравнения.
Проверим число $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ для уравнения $$x^2-x-1=0$$:
$$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 =\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1$$
$$=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 =\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 =1-1=0$$
Значит, это корень уравнения.
Проверим число $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$:
$$\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1 =\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1$$
$$=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1 =\frac{3-\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1 =2-\sqrt{5}-1=1-\sqrt{5}\neq0$$
Значит, это не корень уравнения.
Ответ
а) $$-7$$ и $$5$$ — корни уравнения; б) $$\frac{2}{3}$$ — корень, $$-2$$ — не корень; в) $$1-\sqrt{2}$$ и $$1+\sqrt{2}$$ — корни; г) $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ — корень, $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ — не корень.
