Упр.3.42 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

б) Докажите, что если числа m и n — корни уравнения ax^2+bx+c=0 (a?0 и c?0), то корнями уравнения cx^2+bx+a=0 являются числа 1/m и 1/n.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения x^2-5x+6=0. Проверьте себя, решив эти уравнения.
2) а) Решите уравнения 2x^2+3x-5=0 и 2x^2-3x-5=0. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет корни m и n, то корни уравнения ax^2-bx+c=0 — числа -m и -n.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения 2x^2-x-1=0. Проверьте себя, решив оба уравнения.

1. 1)

   а) Для уравнения $$2x^2-7x+3=0$$ меняем местами коэффициенты $$a$$ и $$c$$:

   $$3x^2-7x+2=0.$$

   Решим первое уравнение:

   $$D=49-4\cdot 2\cdot 3=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}.$$

   $$x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=3.$$

   Решим второе уравнение:

   $$D=49-4\cdot 3\cdot 2=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{6}.$$

   $$x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=2.$$

   Корни этих уравнений являются взаимно обратными числами.

   б) Подставим числа $$\frac{1}{m}$$ и $$\frac{1}{n}$$ в уравнение $$cx^2+bx+a=0$$:

   $$c\left(\frac{1}{m}\right)^2+b\cdot \frac{1}{m}+a=0,$$
   $$\frac{c}{m^2}+\frac{b}{m}+a=0.$$

   Умножим на $$m^2$$:

   $$am^2+bm+c=0.$$

   Это исходное уравнение, значит $$\frac{1}{m}$$ — его корень.

   Аналогично:

   $$c\left(\frac{1}{n}\right)^2+b\cdot \frac{1}{n}+a=0,$$
   $$\frac{c}{n^2}+\frac{b}{n}+a=0,$$
   $$an^2+bn+c=0.$$

   Следовательно, $$\frac{1}{n}$$ тоже является корнем уравнения $$cx^2+bx+a=0$$.

   в) Уравнение, корни которого обратны корням уравнения $$x^2-5x+6=0$$, получим заменой коэффициентов $$a$$ и $$c$$:

   $$6x^2-5x+1=0.$$

   Проверим:

   $$x^2-5x+6=0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0,$$
   $$x=2,\; x=3.$$

   Тогда обратные корни: $$\frac{1}{2}$$ и $$\frac{1}{3}$$.

   Решим полученное уравнение:

   $$D=25-4\cdot 6\cdot 1=1,$$
   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}.$$

   $$x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{1}{2}.$$

2. 2)

   а) Решим уравнения:

   $$2x^2+3x-5=0,$$
   $$D=9+40=49,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{4}.$$

   $$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=1.$$

   $$2x^2-3x-5=0,$$
   $$D=9+40=49,$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4}.$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{5}{2}.$$

   Корни этих уравнений являются противоположными числами.

   б) Подставим числа $$-m$$ и $$-n$$ в уравнение $$ax^2-bx+c=0$$:

   $$a(-m)^2-b(-m)+c=0,$$
   $$am^2+bm+c=0.$$

   Это исходное уравнение, значит $$-m$$ — его корень.

   Аналогично:

   $$a(-n)^2-b(-n)+c=0,$$
   $$an^2+bn+c=0.$$

   Следовательно, $$-n$$ тоже является корнем уравнения $$ax^2-bx+c=0$$.

   в) Корням уравнения $$2x^2-x-1=0$$ противоположны корни уравнения $$2x^2+x-1=0$$.

   Решим оба уравнения:

   $$2x^2-x-1=0,$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

   $$x_1=-\frac{1}{2},\quad x_2=1.$$

   $$2x^2+x-1=0,$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) а) $$2x^2-7x+3=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2},\,3$$; $$3x^2-7x+2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3},\,2$$. Корни взаимно обратны.
б) Корни уравнения $$cx^2+bx+a=0$$: $$\frac{1}{m}$$ и $$\frac{1}{n}$$.
в) $$6x^2-5x+1=0$$; его корни $$\frac{1}{3}$$ и $$\frac{1}{2}$$.

2) а) $$2x^2+3x-5=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{2},\,1$$; $$2x^2-3x-5=0 \Rightarrow x=-1,\,\frac{5}{2}$$. Корни противоположны.
б) Корни уравнения $$ax^2-bx+c=0$$: $$-m$$ и $$-n$$.
в) $$2x^2+x-1=0$$; его корни $$-1$$ и $$\frac{1}{2}$$.