Упр.3.42 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- а) Дано уравнение $$2x^2-7x+3=0$$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $$a$$ и $$c$$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если числа $$m$$ и $$n$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ ($$a\ne0$$ и $$c\ne0$$), то корнями уравнения $$cx^2+bx+a=0$$ являются числа $$\frac{1}{m}$$ и $$\frac{1}{n}$$.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $$x^2-5x+6=0$$. Проверьте себя, решив эти уравнения. - а) Решите уравнения $$2x^2+3x-5=0$$ и $$2x^2-3x-5=0$$. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет корни $$m$$ и $$n$$, то корни уравнения $$ax^2-bx+c=0$$ — числа $$-m$$ и $$-n$$.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $$2x^2-x-1=0$$. Проверьте себя, решив оба уравнения.
1)
а) Для уравнения $$2x^2-7x+3=0$$ меняем местами коэффициенты $$a$$ и $$c$$:
$$3x^2-7x+2=0.$$
Решим первое уравнение:
$$D=49-4\cdot 2\cdot 3=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}.$$$$x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=3.$$
Решим второе уравнение:
$$D=49-4\cdot 3\cdot 2=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{6}.$$$$x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=2.$$
Корни этих уравнений являются взаимно обратными числами.
б) Подставим числа $$\frac{1}{m}$$ и $$\frac{1}{n}$$ в уравнение $$cx^2+bx+a=0$$:
$$c\left(\frac{1}{m}\right)^2+b\cdot \frac{1}{m}+a=0,$$
$$\frac{c}{m^2}+\frac{b}{m}+a=0.$$Умножим на $$m^2$$:
$$am^2+bm+c=0.$$
Это исходное уравнение, значит $$\frac{1}{m}$$ — его корень.
Аналогично:
$$c\left(\frac{1}{n}\right)^2+b\cdot \frac{1}{n}+a=0,$$
$$\frac{c}{n^2}+\frac{b}{n}+a=0,$$
$$an^2+bn+c=0.$$Следовательно, $$\frac{1}{n}$$ тоже является корнем уравнения $$cx^2+bx+a=0$$.
в) Уравнение, корни которого обратны корням уравнения $$x^2-5x+6=0$$, получим заменой коэффициентов $$a$$ и $$c$$:
$$6x^2-5x+1=0.$$
Проверим:
$$x^2-5x+6=0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0,$$
$$x=2,\; x=3.$$Тогда обратные корни: $$\frac{1}{2}$$ и $$\frac{1}{3}$$.
Решим полученное уравнение:
$$D=25-4\cdot 6\cdot 1=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}.$$$$x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{1}{2}.$$
2)
а) Решим уравнения:
$$2x^2+3x-5=0,$$
$$D=9+40=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{4}.$$$$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=1.$$
$$2x^2-3x-5=0,$$
$$D=9+40=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4}.$$$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{5}{2}.$$
Корни этих уравнений являются противоположными числами.
б) Подставим числа $$-m$$ и $$-n$$ в уравнение $$ax^2-bx+c=0$$:
$$a(-m)^2-b(-m)+c=0,$$
$$am^2+bm+c=0.$$Это исходное уравнение, значит $$-m$$ — его корень.
Аналогично:
$$a(-n)^2-b(-n)+c=0,$$
$$an^2+bn+c=0.$$Следовательно, $$-n$$ тоже является корнем уравнения $$ax^2-bx+c=0$$.
в) Корням уравнения $$2x^2-x-1=0$$ противоположны корни уравнения $$2x^2+x-1=0$$.
Решим оба уравнения:
$$2x^2-x-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$$$x_1=-\frac{1}{2},\quad x_2=1.$$
$$2x^2+x-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{1}{2}.$$
Ответ
1) а) $$2x^2-7x+3=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2},\,3$$; $$3x^2-7x+2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3},\,2$$. Корни взаимно обратны.
б) Корни уравнения $$cx^2+bx+a=0$$: $$\frac{1}{m}$$ и $$\frac{1}{n}$$.
в) $$6x^2-5x+1=0$$; его корни $$\frac{1}{3}$$ и $$\frac{1}{2}$$.
2) а) $$2x^2+3x-5=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{2},\,1$$; $$2x^2-3x-5=0 \Rightarrow x=-1,\,\frac{5}{2}$$. Корни противоположны.
б) Корни уравнения $$ax^2-bx+c=0$$: $$-m$$ и $$-n$$.
в) $$2x^2+x-1=0$$; его корни $$-1$$ и $$\frac{1}{2}$$.
