Упр.3.39 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой:
   а) $$\left(x^2-2x+1\right)^2-11\left(x^2-2x+1\right)+30=0$$;
   б) $$\left(x^2+4x\right)^2-4\left(x^2+4x\right)-5=0$$.

а) Сделаем замену:

$$x^2-2x+1=y.$$

Тогда получаем уравнение

$$y^2-11y+30=0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-11y+30=(y-5)(y-6)=0.$$

Отсюда

$$y=5 \text{ или } y=6.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2-2x+1=5 \quad \text{или} \quad x^2-2x+1=6.$$

1) $$x^2-2x-4=0,$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=4+16=20,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}.$$

2) $$x^2-2x-5=0,$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=4+20=24,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}.$$

Значит, корни уравнения:

$$x=1-\sqrt{6},\; 1-\sqrt{5},\; 1+\sqrt{5},\; 1+\sqrt{6}.$$

б) Сделаем замену:

$$x^2+4x=y.$$

Тогда

$$y^2-4y-5=0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-4y-5=(y-5)(y+1)=0.$$

Отсюда

$$y=5 \text{ или } y=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2+4x=5 \quad \text{или} \quad x^2+4x=-1.$$

1) $$x^2+4x-5=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

$$x=\frac{-4\pm 6}{2},$$

откуда

$$x=-5,\; 1.$$

2) $$x^2+4x+1=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12,$$

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt{3}.$$

Значит, корни уравнения:

$$x=-2-\sqrt{3},\; -5,\; -2+\sqrt{3},\; 1.$$

Ответ

а) $$x=1-\sqrt{6},\; 1-\sqrt{5},\; 1+\sqrt{5},\; 1+\sqrt{6}.$$

б) $$x=-2-\sqrt{3},\; -5,\; -2+\sqrt{3},\; 1.$$