Упр.3.38 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) (x^2-x-1)^2-10(x^2-x-1)+9=0;
б) (x^2-4x+3)^2+6(x^2-4x+6)-34=0.

а) Введём замену:

$$x^2-x-1=y.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2-10y+9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\quad y_2=9.$$

Теперь решаем два уравнения:

$$x^2-x-1=1 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0,$$

откуда

$$x=2 \text{ или } x=-1.$$

$$x^2-x-1=9 \Rightarrow x^2-x-10=0.$$

$$D=1+40=41,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}.$$

Итак, для пункта а) получаем:

$$x=-1,\; x=2,\; x=\frac{1-\sqrt{41}}{2},\; x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}.$$

б) Введём замену:

$$x^2-4x+3=y.$$

Тогда

$$x^2-4x+6=y+3,$$

и уравнение принимает вид:

$$y^2+6(y+3)-34=0.$$

Упростим:

$$y^2+6y-16=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=36+64=100,$$

$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\quad y_2=-8.$$

Теперь решаем два уравнения:

$$x^2-4x+3=2 \Rightarrow x^2-4x+1=0,$$

$$D=16-4=12,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}.$$

$$x^2-4x+3=-8 \Rightarrow x^2-4x+11=0,$$

$$D=16-44=-28<0,$$

действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=-1,\; 2,\; \frac{1-\sqrt{41}}{2},\; \frac{1+\sqrt{41}}{2}.$$

б) $$x=2-\sqrt{3},\; 2+\sqrt{3}.$$