Упр.3.36 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 8 класс, Просвещение: Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Объясните свой ответ.

Сделаем замену: $$t=x^2.$$ Тогда биквадратное уравнение сводится к квадратному относительно $$t$$.

Квадратное уравнение может иметь:

• два различных корня $$t_1$$ и $$t_2$$;
• один корень;
• не иметь корней.

Рассмотрим возможные случаи.

• Если $$t_1>0$$ и $$t_2>0$$, то каждое значение $$t$$ даёт по два корня для $$x$$: всего $$4$$ корня.
• Если один корень положительный, а другой отрицательный, то отрицательный не подходит, а положительный даёт два корня: всего $$2$$ корня.
• Если один из корней равен нулю, а другой положительный, то получаем $$3$$ корня.
• Если единственный корень квадратного уравнения положительный, то биквадратное уравнение имеет $$2$$ корня.
• Если единственный корень равен нулю, то получаем $$1$$ корень.
• Если квадратное уравнение не имеет корней, то и биквадратное уравнение корней не имеет.

Значит, биквадратное уравнение может иметь $$4$$, $$3$$, $$2$$, $$1$$ или $$0$$ корней.

Ответ

$$4$$ корня; $$3$$ корня; $$2$$ корня; $$1$$ корень; $$0$$ корней.