Упр.3.35 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Решите биквадратное уравнение:

а) $$x^4-13x^2+36=0$$;
б) $$y^4-5y^2+4=0$$;
в) $$x^4+15x^2-16=0$$;
г) $$z^4+5z^2+4=0$$.

Решим каждое биквадратное уравнение заменой $$t=x^2$$, $$t=y^2$$ или $$t=z^2$$.

1. $$x^4-13x^2+36=0$$

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2-13t+36=0$$

   $$t^2-13t+36=(t-4)(t-9)=0$$

   Отсюда $$t=4$$ или $$t=9$$.

   Тогда

   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$

   $$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$

2. $$y^4-5y^2+4=0$$

   Пусть $$y^2=t$$. Тогда

   $$t^2-5t+4=0$$

   $$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$.

   Тогда

   $$y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1$$

   $$y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2$$

3. $$x^4+15x^2-16=0$$

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2+15t-16=0$$

   $$t^2+15t-16=(t+16)(t-1)=0$$

   Отсюда $$t=-16$$ или $$t=1$$.

   Так как $$x^2=-16$$ не имеет действительных корней, остаётся

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$

4. $$z^4+5z^2+4=0$$

   Пусть $$z^2=t$$. Тогда

   $$t^2+5t+4=0$$

   $$t^2+5t+4=(t+1)(t+4)=0$$

   Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-4$$.

   Но $$z^2=-1$$ и $$z^2=-4$$ не имеют действительных корней.

Ответ

а) $$x=\pm 2,\ \pm 3$$; б) $$y=\pm 1,\ \pm 2$$; в) $$x=\pm 1$$; г) корней нет.