Упр.3.35 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Решим уравнение x^4+3x^2-28=0.
Решение. Введем замену x^2=y, получим квадратное уравнение относительно y: y^2+3y-28=0. Решив его, найдем корни: y_1=4, y_2=-7. Теперь решим уравнения x^2=4 и x^2=-7.
1) x^2=4; x_1=2; x_2=-2;
2) x^2=-7; уравнение корней не имеет.
Ответ: 2; -2.
Решите биквадратное уравнение:
а) x^4-13x^2+36=0;
б) y^4-5y^2+4=0;
в) x^4+15x^2-16=0;
г) z^4+5z^2+4=0.

Подробный ответ

Решим каждое биквадратное уравнение заменой $$t=x^2$$, $$t=y^2$$ или $$t=z^2$$.

$$x^4-13x^2+36=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2-13t+36=0$$
$$t^2-13t+36=(t-4)(t-9)=0$$
Отсюда $$t=4$$ или $$t=9$$.
Тогда
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$y^4-5y^2+4=0$$
Пусть $$y^2=t$$. Тогда
$$t^2-5t+4=0$$
$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$.
Тогда
$$y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1$$
$$y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2$$
$$x^4+15x^2-16=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$t^2+15t-16=0$$
$$t^2+15t-16=(t+16)(t-1)=0$$
Отсюда $$t=-16$$ или $$t=1$$.
Так как $$x^2=-16$$ не имеет действительных корней, остаётся
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
$$z^4+5z^2+4=0$$
Пусть $$z^2=t$$. Тогда
$$t^2+5t+4=0$$
$$t^2+5t+4=(t+1)(t+4)=0$$
Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-4$$.
Но $$z^2=-1$$ и $$z^2=-4$$ не имеют действительных корней.