Упр.3.131 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Определите степень уравнения $$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$$. Выведите формулы Виета для этого уравнения.

Раскроем скобки:

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$$

$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$

Тогда

$$(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)(x-x_3)=0$$

$$x^3-(x_1+x_2)x^2+x_1x_2x-(x_3x^2-(x_1+x_2)x_3x+x_1x_2x_3)=0$$

После приведения подобных членов получаем:

$$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3=0$$

Это уравнение третьей степени, его степень равна $$3$$.

Сравнивая с общим видом

$$x^3+px^2+qx+r=0,$$

получаем формулы Виета:

$$x_1+x_2+x_3=-p,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=q,$$

$$x_1x_2x_3=-r.$$

Ответ

Степень уравнения: $$3$$.

Формулы Виета: $$x_1+x_2+x_3=-p,\; x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=q,\; x_1x_2x_3=-r.$$