Упр.3.130 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) x^4-2x^3+2x-1;
б) x^4+x^3-7x^2-13x-6;
в) 4x^3+21x^2-25;
г) 5x^3+3x^2-5x-3.

Подробный ответ

а) Заметим, что $x=1$ — корень многочлена, значит, можно вынести множитель $x-1$:

$$ x^4-2x^3+2x-1=(x^4-x^3)-x^3+2x-1 $$
$$ =x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x^2-2x+1) $$
$$ =x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x-1)^2 $$
$$ =(x-1)\bigl(x^3-x^2-(x-1)\bigr) $$
$$ =(x-1)\bigl(x^3-x^2-x+1\bigr) $$
$$ =(x-1)(x-1)(x^2-1) $$
$$ =(x-1)^2(x-1)(x+1)=(x-1)^3(x+1). $$

б) Здесь корень $x=-1$, поэтому выделим множитель $x+1$:

$$ x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x^4+x^3)-(7x^2+7x)-6x-6 $$
$$ =x^3(x+1)-7x(x+1)-6(x+1) $$
$$ =(x+1)(x^3-7x-6) $$
$$ =(x+1)(x^3+x^2-x^2-7x-6) $$
$$ =(x+1)\bigl(x^2(x+1)-x(x+1)-6(x+1)\bigr) $$
$$ =(x+1)^2(x^2-x-6) $$
$$ =(x+1)^2(x-3)(x+2). $$

в) Сгруппируем слагаемые:

$$ 4x^3+21x^2-25=(4x^3-4x^2)+(25x^2-25) $$
$$ =4x^2(x-1)+25(x^2-1) $$
$$ =4x^2(x-1)+25(x-1)(x+1) $$
$$ =(x-1)(4x^2+25x+25). $$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$ 4x^2+25x+25=(4x+5)(x+5). $$

Тогда

$$ 4x^3+21x^2-25=(x-1)(4x+5)(x+5). $$

г) Вынесем общий множитель группировкой:

$$ 5x^3+3x^2-5x-3=x^2(5x+3)-(5x+3) $$
$$ =(5x+3)(x^2-1) $$
$$ =(5x+3)(x-1)(x+1). $$