Упр.3.130 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Разложите на множители многочлен: а) $$x^4-2x^3+2x-1$$; б) $$x^4+x^3-7x^2-13x-6$$; в) $$4x^3+21x^2-25$$; г) $$5x^3+3x^2-5x-3$$.
а) Заметим, что $$x=1$$ — корень многочлена, значит, можно вынести множитель $$x-1$$:
$$x^4-2x^3+2x-1=(x^4-x^3)-x^3+2x-1$$
$$=x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x^2-2x+1)$$
$$=x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x-1)^2$$
$$=(x-1)\bigl(x^3-x^2-(x-1)\bigr)$$
$$=(x-1)\bigl(x^3-x^2-x+1\bigr)$$
$$=(x-1)(x-1)(x^2-1)$$
$$=(x-1)^2(x-1)(x+1)=(x-1)^3(x+1).$$
б) Здесь корень $$x=-1$$, поэтому выделим множитель $$x+1$$:
$$x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x^4+x^3)-(7x^2+7x)-6x-6$$
$$=x^3(x+1)-7x(x+1)-6(x+1)$$
$$=(x+1)(x^3-7x-6)$$
$$=(x+1)(x^3+x^2-x^2-7x-6)$$
$$=(x+1)\bigl(x^2(x+1)-x(x+1)-6(x+1)\bigr)$$
$$=(x+1)^2(x^2-x-6)$$
$$=(x+1)^2(x-3)(x+2).$$
в) Сгруппируем слагаемые:
$$4x^3+21x^2-25=(4x^3-4x^2)+(25x^2-25)$$
$$=4x^2(x-1)+25(x^2-1)$$
$$=4x^2(x-1)+25(x-1)(x+1)$$
$$=(x-1)(4x^2+25x+25).$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$4x^2+25x+25=(4x+5)(x+5).$$
Тогда
$$4x^3+21x^2-25=(x-1)(4x+5)(x+5).$$
г) Вынесем общий множитель группировкой:
$$5x^3+3x^2-5x-3=x^2(5x+3)-(5x+3)$$
$$=(5x+3)(x^2-1)$$
$$=(5x+3)(x-1)(x+1).$$
Ответ
$$\text{а) }(x-1)^3(x+1),\quad \text{б) }(x+1)^2(x-3)(x+2),\quad \text{в) }(x-1)(4x+5)(x+5),\quad \text{г) }(5x+3)(x-1)(x+1).$$
