Упр.3.129 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) x^4+2x^3-x-2=0;
б) x^3-12x^2+9x+22=0;
в) 2x^3-7x^2+9=0;
г) 5x^3-54x^2+39x+10=0.

1. а) $$x^4+2x^3-x-2=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$x^3(x+2)-1(x+2)=0$$

   $$ (x+2)(x^3-1)=0 $$

   $$ (x+2)(x-1)(x^2+x+1)=0 $$

   Из уравнения получаем:

   $$x+2=0 \Rightarrow x=-2,$$

   $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

   Квадратное уравнение $$x^2+x+1=0$$ действительных корней не имеет, так как $$D=1-4=-3<0.$$

2. б) $$x^3-12x^2+9x+22=0$$

   Проверим корень $$x=-1$$:

   $$(-1)^3-12(-1)^2+9(-1)+22=0.$$

   Значит, можно выделить множитель $$x+1$$:

   $$x^3-12x^2+9x+22=(x+1)(x^2-13x+22).$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2-13x+22=(x-11)(x-2).$$

   Тогда

   $$ (x+1)(x-11)(x-2)=0. $$

   Следовательно, $$x=-1,\; x=11,\; x=2.$$

3. в) $$2x^3-7x^2+9=0$$

   Проверим корень $$x=-1$$:

   $$2(-1)^3-7(-1)^2+9=0.$$

   Значит, делится на $$x+1$$:

   $$2x^3-7x^2+9=(x+1)(2x^2-9x+9).$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$2x^2-9x+9=0.$$

   $$D=81-72=9.$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{4}.$$

   $$x_1=\frac{3}{2}, \quad x_2=3.$$

   Итак, корни уравнения: $$x=-1,\; x=\frac{3}{2},\; x=3.$$

4. г) $$5x^3-54x^2+39x+10=0$$

   Проверим корень $$x=1$$:

   $$5-54+39+10=0.$$

   Тогда

   $$5x^3-54x^2+39x+10=(x-1)(5x^2-49x-10).$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$5x^2-49x-10=0.$$

   $$D=49^2+4\cdot 5\cdot 10=2401+200=2601,$$

   $$\sqrt{2601}=51.$$

   $$x_{1,2}=\frac{49\pm 51}{10}.$$

   $$x_1=\frac{100}{10}=10,\quad x_2=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}.$$

   Итак, корни уравнения: $$x=-\frac{1}{5},\; x=1,\; x=10.$$

Ответ

а) $$x=-2,\;1$$; б) $$x=-1,\;2,\;11$$; в) $$x=-1,\;\frac{3}{2},\;3$$; г) $$x=-\frac{1}{5},\;1,\;10$$.