Упр.3.12 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) числа m и n являются корнями уравнения x^2-(m+n)x+mn=0;
б) числа m+n и m-n являются корнями уравнения x^2-2mx+m^2-n^2=0.
Сократите уравнение такого вида, подставив вместо m и n конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

а) Подставим в уравнение $$x^2-(m+n)x+mn=0$$ числа $$x=m$$ и $$x=n$$.

Если $$x=m$$, получаем:

$$m^2-(m+n)m+mn=0$$

$$m^2-m^2-mn+mn=0$$

$$0=0$$

Значит, $$x=m$$ — корень уравнения.

Если $$x=n$$, получаем:

$$n^2-(m+n)n+mn=0$$

$$n^2-mn-n^2+mn=0$$

$$0=0$$

Значит, $$x=n$$ — корень уравнения.

Следовательно, числа $$m$$ и $$n$$ являются корнями данного уравнения.

Например, при $$m=3$$ и $$n=4$$ получаем:

$$x^2-(3+4)x+3\cdot 4=0$$

$$x^2-7x+12=0$$

$$x=3,\; x=4$$

б) Подставим в уравнение $$x^2-2mx+m^2-n^2=0$$ числа $$x=m+n$$ и $$x=m-n$$.

Если $$x=m+n$$, то:

$$ (m+n)^2-2m(m+n)+m^2-n^2=0 $$

$$ m^2+2mn+n^2-2m^2-2mn+m^2-n^2=0 $$

$$0=0$$

Значит, $$x=m+n$$ — корень уравнения.

Если $$x=m-n$$, то:

$$ (m-n)^2-2m(m-n)+m^2-n^2=0 $$

$$ m^2-2mn+n^2-2m^2+2mn+m^2-n^2=0 $$

$$0=0$$

Значит, $$x=m-n$$ — корень уравнения.

Следовательно, числа $$m+n$$ и $$m-n$$ являются корнями данного уравнения.

Например, при $$m=4$$ и $$n=3$$ получаем:

$$x^2-2\cdot 4x+4^2-3^2=0$$

$$x^2-8x+16-9=0$$

$$x^2-8x+7=0$$

$$x=1,\; x=7$$

Ответ

а) $$m$$ и $$n$$; при $$m=3$$, $$n=4$$: $$x=3$$, $$x=4$$.

б) $$m+n$$ и $$m-n$$; при $$m=4$$, $$n=3$$: $$x=1$$, $$x=7$$.