Упр.3.108 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

2) Составьте како-нибудь квадратное уравнение, имеющее корень, равный 1, и найдите второй корень этого уравнения.
3) Найдите устно корни уравнения:
а) x^2-1999x+1998=0;
б) x^2+2000x-2001=0;
в) 8x^2-5x-3=0;
г) 100x^2-150x+50=0.

1) Пусть $$ax^2+bx+c=0$$ и сумма коэффициентов равна нулю, то есть $$a+b+c=0$$. Подставим $$x=1$$:

$$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=a+b+c=0.$$

Значит, число $$1$$ является корнем уравнения.

2) Возьмём, например, уравнение $$3x^2+4x-7=0$$. Здесь $$3+4-7=0$$, значит, $$x_1=1$$ — корень.

По теореме Виета:

$$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{3}.$$

Тогда

$$1\cdot x_2=\frac{-7}{3}, \quad x_2=-\frac{7}{3}.$$

3) Найдём корни устно.

а) Для уравнения $$x^2-1999x+1998=0$$ сумма коэффициентов равна нулю:

$$1-1999+1998=0,$$

значит, один корень равен $$1$$. Тогда по Виету:

$$x_1+x_2=1999,$$

$$1+x_2=1999,$$

$$x_2=1998.$$

б) Для уравнения $$x^2+2000x-2001=0$$:

$$1+2000-2001=0,$$

значит, один корень равен $$1$$. Тогда

$$x_1+x_2=-2000,$$

$$1+x_2=-2000,$$

$$x_2=-2001.$$

в) Для уравнения $$8x^2-5x-3=0$$:

$$8-5-3=0,$$

значит, один корень равен $$1$$. Тогда

$$x_1+x_2=\frac{5}{8},$$

$$1+x_2=\frac{5}{8},$$

$$x_2=-\frac{3}{8}.$$

г) Для уравнения $$100x^2-150x+50=0$$:

$$100-150+50=0,$$

значит, один корень равен $$1$$. Тогда

$$x_1+x_2=\frac{150}{100}=\frac{3}{2},$$

$$1+x_2=\frac{3}{2},$$

$$x_2=\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) Если $$a+b+c=0$$, то $$x=1$$ — корень уравнения.

2) Например, $$3x^2+4x-7=0$$; корни: $$x=1$$ и $$x=-\frac{7}{3}$$.

3) а) $$x=1,\; x=1998$$; б) $$x=1,\; x=-2001$$; в) $$x=1,\; x=-\frac{3}{8}$$; г) $$x=1,\; x=\frac{1}{2}$$.