Упр.3.107 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Выразите через коэффициенты $$p$$ и $$q$$: а) $$x_1^2+x_2^2$$; б) $$x_1^3+x_2^3$$; в) $$x_1^4+x_2^4$$.

Для уравнения $$x^2+px+q=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

а)

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

$$x_1^2+x_2^2=(-p)^2-2q=p^2-2q.$$

б)

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$$

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=p^2-3q.$$

Тогда

$$x_1^3+x_2^3=(-p)(p^2-3q)=3pq-p^3.$$

в)

$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2$$

$$x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=q^2.$$

Следовательно,

$$x_1^4+x_2^4=(p^2-2q)^2-2q^2=p^4-4p^2q+2q^2.$$

Ответ

а) $$p^2-2q$$; б) $$3pq-p^3$$; в) $$p^4-4p^2q+2q^2$$.