Упр.3.104 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) x^2+5x+q=0;
б) x^2+6x+q=0.
Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q?

а) Рассмотрим уравнение $$x^2+5x+q=0.$$

Если $$q>0,$$ то произведение корней положительно, значит, корни одного знака. Их сумма равна $$-5,$$ следовательно, оба корня отрицательные.

Найдём пары целых чисел с суммой $$-5$$:

$$-5=(-4)+(-1)=(-3)+(-2).$$

Тогда произведения этих пар равны:

$$(-4)\cdot(-1)=4,\qquad (-3)\cdot(-2)=6.$$

Значит, при $$q>0$$ подходят значения $$q=4$$ и $$q=6.$$

Если $$q<0,$$ то корни имеют разные знаки. Тогда нужно рассмотреть пары целых чисел с суммой $$-5$$ и отрицательным произведением:

$$-5=(-6)+1=(-7)+2=(-8)+3=\dots$$

Соответствующие значения $$q$$:

$$q=-6,\,-14,\,-24,\dots$$

Таких значений бесконечно много, поэтому перечислить все нельзя.

б) Рассмотрим уравнение $$x^2+6x+q=0.$$

Если $$q>0,$$ то корни одного знака. Их сумма равна $$-6,$$ значит, оба корня отрицательные.

Пары целых чисел с суммой $$-6$$:

$$-6=(-5)+(-1)=(-4)+(-2)=(-3)+(-3).$$

Соответствующие значения $$q$$:

$$(-5)\cdot(-1)=5,\qquad (-4)\cdot(-2)=8,\qquad (-3)\cdot(-3)=9.$$

Значит, при $$q>0$$ подходят $$q=5,\ 8,\ 9.$$

Если $$q<0,$$ то корни имеют разные знаки. Тогда рассмотрим пары целых чисел с суммой $$-6$$ и отрицательным произведением:

$$-6=(-7)+1=(-8)+2=(-9)+3=\dots$$

Соответствующие значения $$q$$:

$$q=-7,\,-16,\,-27,\dots$$

Таких значений бесконечно много, поэтому перечислить все нельзя.

Ответ

а) $$q=4,\ 6.$$ При $$q<0$$: $$q=-6,\,-14,\,-24,\dots$$; все такие значения перечислить нельзя.

б) $$q=5,\ 8,\ 9.$$ При $$q<0$$: $$q=-7,\,-16,\,-27,\dots$$; все такие значения перечислить нельзя.