Упр.3.104 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Найдите все целые положительные значения $$q$$, при которых данное уравнение имеет целые корни:
а) $$x^2+5x+q=0$$;
б) $$x^2+6x+q=0$$.
Найдите несколько целых отрицательных значений $$q$$, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения $$q$$?
а) Рассмотрим уравнение $$x^2+5x+q=0.$$
Если $$q>0,$$ то произведение корней положительно, значит, корни одного знака. Их сумма равна $$-5,$$ следовательно, оба корня отрицательные.
Найдём пары целых чисел с суммой $$-5$$:
$$-5=(-4)+(-1)=(-3)+(-2).$$
Тогда произведения этих пар равны:
$$(-4)\cdot(-1)=4,\qquad (-3)\cdot(-2)=6.$$
Значит, при $$q>0$$ подходят значения $$q=4$$ и $$q=6.$$
Если $$q<0,$$ то корни имеют разные знаки. Тогда нужно рассмотреть пары целых чисел с суммой $$-5$$ и отрицательным произведением:
$$-5=(-6)+1=(-7)+2=(-8)+3=\dots$$
Соответствующие значения $$q$$:
$$q=-6,\,-14,\,-24,\dots$$
Таких значений бесконечно много, поэтому перечислить все нельзя.
б) Рассмотрим уравнение $$x^2+6x+q=0.$$
Если $$q>0,$$ то корни одного знака. Их сумма равна $$-6,$$ значит, оба корня отрицательные.
Пары целых чисел с суммой $$-6$$:
$$-6=(-5)+(-1)=(-4)+(-2)=(-3)+(-3).$$
Соответствующие значения $$q$$:
$$(-5)\cdot(-1)=5,\qquad (-4)\cdot(-2)=8,\qquad (-3)\cdot(-3)=9.$$
Значит, при $$q>0$$ подходят $$q=5,\ 8,\ 9.$$
Если $$q<0,$$ то корни имеют разные знаки. Тогда рассмотрим пары целых чисел с суммой $$-6$$ и отрицательным произведением:
$$-6=(-7)+1=(-8)+2=(-9)+3=\dots$$
Соответствующие значения $$q$$:
$$q=-7,\,-16,\,-27,\dots$$
Таких значений бесконечно много, поэтому перечислить все нельзя.
Ответ
а) $$q=4,\ 6.$$ При $$q<0$$: $$q=-6,\,-14,\,-24,\dots$$; все такие значения перечислить нельзя.
б) $$q=5,\ 8,\ 9.$$ При $$q<0$$: $$q=-7,\,-16,\,-27,\dots$$; все такие значения перечислить нельзя.
