Упр.212(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. а) Дано: $$x-\frac{x}{x+1}=y$$. Выразите $$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}$$ через $$y$$.
   б) Дано: $$x+\frac{x}{x-1}=y$$. Выразите $$x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2}$$ через $$y$$.

а) Пусть $$x-\frac{x}{x+1}=y.$$ Тогда

$$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2} = x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}+2x\cdot\frac{x}{x+1}-2x\cdot\frac{x}{x+1}$$
$$= \left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2x\cdot\frac{x}{x+1} = y^2+2\cdot\frac{x}{x+1}.$$
Из равенства $$x-\frac{x}{x+1}=y$$ получаем
$$x\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=y,\qquad x\cdot\frac{x}{x+1}=y,$$
то есть
$$\frac{x^2}{x+1}=y.$$
Следовательно,
$$2\cdot\frac{x}{x+1}=2y,$$
и потому
$$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=y^2+2y.$$

б) Пусть $$x+\frac{x}{x-1}=y.$$ Тогда

$$x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2} = x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2}-2x\cdot\frac{x}{x-1}+2x\cdot\frac{x}{x-1}$$
$$= \left(x+\frac{x}{x-1}\right)^2-2x\cdot\frac{x}{x-1} = y^2-2\cdot\frac{x}{x-1}.$$
Из равенства $$x+\frac{x}{x-1}=y$$ получаем
$$x\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=y,\qquad x\cdot\frac{x}{x-1}=y,$$
то есть
$$\frac{x^2}{x-1}=y.$$
Следовательно,
$$2\cdot\frac{x}{x-1}=2y,$$
и потому
$$x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2}=y^2-2y.$$

Ответ

а) $$y^2+2y$$;
б) $$y^2-2y$$.