Упр.212(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

б) Дано: x+x/(x-1)=y. Выразите x^2+x^2/(x-1)^2 через y.

а) Пусть $$x-\frac{x}{x+1}=y.$$ Тогда

$$ x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2} = x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}+2x\cdot\frac{x}{x+1}-2x\cdot\frac{x}{x+1} $$
$$ = \left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2x\cdot\frac{x}{x+1} = y^2+2\cdot\frac{x}{x+1}. $$
Из равенства $$x-\frac{x}{x+1}=y$$ получаем
$$ x\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=y,\qquad x\cdot\frac{x}{x+1}=y, $$
то есть
$$ \frac{x^2}{x+1}=y. $$
Следовательно,
$$ 2\cdot\frac{x}{x+1}=2y, $$
и потому
$$ x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=y^2+2y. $$

б) Пусть $$x+\frac{x}{x-1}=y.$$ Тогда

$$ x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2} = x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2}-2x\cdot\frac{x}{x-1}+2x\cdot\frac{x}{x-1} $$
$$ = \left(x+\frac{x}{x-1}\right)^2-2x\cdot\frac{x}{x-1} = y^2-2\cdot\frac{x}{x-1}. $$
Из равенства $$x+\frac{x}{x-1}=y$$ получаем
$$ x\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=y,\qquad x\cdot\frac{x}{x-1}=y, $$
то есть
$$ \frac{x^2}{x-1}=y. $$
Следовательно,
$$ 2\cdot\frac{x}{x-1}=2y, $$
и потому
$$ x^2+\frac{x^2}{(x-1)^2}=y^2-2y. $$

Ответ

а) $$y^2+2y$$;
б) $$y^2-2y$$.