Упр.211(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) (1-1/n+1/n^2 -1/n^3 ) :(1+1/n+1/n^2 +1/n^3 );
б) (u/(v-z)+(v-z)/v-uz/(v^2-vz)) :(u/(v-z)-(v-z)/v-uz/(v^2-vz)).

а) Умножим числитель и знаменатель дроби на $$n^3$$:

$$ \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} = \frac{n^3-n^2+n-1}{n^3+n^2+n+1} $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ n^3-n^2+n-1=n^2(n-1)+(n-1)=(n-1)(n^2+1) $$
$$ n^3+n^2+n+1=n^2(n+1)+(n+1)=(n+1)(n^2+1) $$

Тогда

$$ \frac{(n-1)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}=\frac{n-1}{n+1} $$

б) Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz} = \frac{uv+(v-z)^2-uz}{v(v-z)} $$
$$ \frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz} = \frac{uv-(v-z)^2-uz}{v(v-z)} $$

Тогда

$$ \frac{\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}}{\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}} = \frac{uv+(v-z)^2-uz}{uv-(v-z)^2-uz} $$

Раскроем скобки:

$$ uv+(v-z)^2-uz=uv+v^2-2vz+z^2-uz $$
$$ uv-(v-z)^2-uz=uv-v^2+2vz-z^2-uz $$

Сгруппируем:

$$ uv+v^2-2vz+z^2-uz=(u+v-z)(v-z) $$
$$ uv-v^2+2vz-z^2-uz=(u-v+z)(v-z) $$

Сокращаем на $$v-z$$:

$$ \frac{(u+v-z)(v-z)}{(u-v+z)(v-z)}=\frac{u+v-z}{u-v+z} $$

Ответ

$$ \text{а) } \frac{n-1}{n+1}; \qquad \text{б) } \frac{u+v-z}{u-v+z} $$