Упр.211(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:
а) $$\left(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}\right):\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right);$$
б) $$\left(\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}\right):\left(\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}\right).$$

Подробный ответ

а) Умножим числитель и знаменатель дроби на $$n^3$$:

$$\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} = \frac{n^3-n^2+n-1}{n^3+n^2+n+1}$$

Сгруппируем слагаемые:

$$n^3-n^2+n-1=n^2(n-1)+(n-1)=(n-1)(n^2+1)$$
$$n^3+n^2+n+1=n^2(n+1)+(n+1)=(n+1)(n^2+1)$$

Тогда

$$\frac{(n-1)(n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)}=\frac{n-1}{n+1}$$

б) Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz} = \frac{uv+(v-z)^2-uz}{v(v-z)}$$
$$\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz} = \frac{uv-(v-z)^2-uz}{v(v-z)}$$

Тогда

$$\frac{\frac{u}{v-z}+\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}}{\frac{u}{v-z}-\frac{v-z}{v}-\frac{uz}{v^2-vz}} = \frac{uv+(v-z)^2-uz}{uv-(v-z)^2-uz}$$

Раскроем скобки:

$$uv+(v-z)^2-uz=uv+v^2-2vz+z^2-uz$$
$$uv-(v-z)^2-uz=uv-v^2+2vz-z^2-uz$$

Сгруппируем:

$$uv+v^2-2vz+z^2-uz=(u+v-z)(v-z)$$
$$uv-v^2+2vz-z^2-uz=(u-v+z)(v-z)$$

Сокращаем на $$v-z$$:

$$\frac{(u+v-z)(v-z)}{(u-v+z)(v-z)}=\frac{u+v-z}{u-v+z}$$