Упр.209(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 1+1/a+(1+a)/ab+(1+a)(1+b)/abc+(1+a)(1+b)(1+c)/abcd=(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)/abcd;
б) 1/(1-a)+1/(1+a)+2/(1+a^2 )+4/(1+a^4 )=8/(1-a^8 );
в) bc/(a-b)(a-c) +ac/(b-a)(b-c) +ab/(c-a)(c-b) =1.

Подробный ответ

а) Приведём левую часть к общему знаменателю $$abcd$$:
$$ 1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} $$
$$ =\frac{abcd+bcd+cd(1+a)+d(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}. $$
Сгруппируем числитель:
$$ bcd+cd(1+a)=cd(1+a+b), $$
$$ d(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)(1+c)=(1+a)(1+b)(d+1+c). $$
Удобнее заметить, что при последовательном раскрытии скобок получается:
$$ abcd+bcd+acd+abd+cd+abc+abd+acd+bd+ad+bc+ab+d+c+b+a+1 $$
$$ =(1+a)(1+b)(1+c)(1+d). $$
Значит,
$$ 1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} =\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}. $$
б) Используем формулы разности квадратов:
$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}=\frac{(1+a)+(1-a)}{(1-a)(1+a)}=\frac{2}{1-a^2}. $$
Тогда левая часть равна
$$ \frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}. $$
Сложим первые два слагаемых:
$$ \frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4}. $$
Теперь
$$ \frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{4(1+a^4)+4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} =\frac{8}{1-a^8}. $$
Следовательно,
$$ \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{8}{1-a^8}. $$
в) Приведём дроби к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:
$$ \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $$
$$ =\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b) $$
$$ =b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2. $$
Сгруппируем:
$$ =c(b^2-a^2)-c^2(b-a)-ab(b-a) $$
$$ =(b-a)\bigl(c(b+a)-c^2-ab\bigr). $$
Далее
$$ c(b+a)-c^2-ab=bc+ac-c^2-ab=(b-c)(a-c). $$
Тогда
$$ \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} =\frac{(b-a)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1. $$