Упр.207(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)$$;

б) $$\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\left(\frac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}-\frac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2}\right)\cdot\frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}$$.

а)

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{a^2-2ab+b^2}{a}\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)$$

Заметим, что $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$, тогда

$$\frac{3a+b}{a+b}+\frac{(a-b)^2}{a}\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right) = \frac{3a+b}{a+b}+1+\frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}$$

Так как $$b^2-a^2=(b-a)(b+a)=-(a-b)(a+b)$$, то

$$\frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}=\frac{a-b}{-(a+b)}=\frac{b-a}{a+b}$$

Тогда

$$\frac{3a+b}{a+b}+1+\frac{b-a}{a+b} = \frac{3a+b+a+b+b-a}{a+b} = \frac{3a+3b}{a+b} =3$$

б)

$$\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+ \left(\frac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}-\frac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2}\right)\cdot \frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}$$

Используем формулы разложения:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), \qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Тогда

$$\frac{a^2+ab+b^2}{a^3+b^3}\cdot\frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}= \frac{1}{a^2-b^2}$$

и

$$\frac{b^3-a^3}{a^2-ab+b^2}\cdot\frac{a^2-ab+b^2}{a^3-b^3}=-1$$

Следовательно,

$$\frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+\frac{1}{a^2-b^2}+1 = \frac{1-2b^2-2ab}{b^2-a^2}-\frac{1}{b^2-a^2}+1$$

$$= \frac{-2b^2-2ab}{b^2-a^2}+1 = \frac{-2b^2-2ab+b^2-a^2}{b^2-a^2} = \frac{-(a+b)^2}{(b-a)(b+a)} = \frac{a+b}{a-b}$$

Ответ

а) $$3$$;
б) $$\frac{a+b}{a-b}$$.