Упр.206(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 8/(x^2-2)^3 +8/(2-x^2 )^2 -2/(2-x^2 );
б) (a-c)/(a^2+ac+c^2 )-2/(c-a)-(3c^2)/(a^3-c^3 );
в) (a^2-9)/(a-1)•(a-a^4)/(3+a)•1/(3a-a^2 )^2 ;
г) (a^4-b^4)/(a^2+ab+b^2 )•1/(b-a)^3 :(a^2+b^2)/(a^3-b^3 ).

Подробный ответ

а)

$$ \frac{8}{(x^2-2)^3}+\frac{8}{(2-x^2)^2}-\frac{2}{2-x^2} = \frac{8}{(x^2-2)^3}+\frac{8}{(x^2-2)^2}+\frac{2}{x^2-2} $$

Приведём к общему знаменателю $$ (x^2-2)^3 $$:
$$ \frac{8+8(x^2-2)+2(x^2-2)^2}{(x^2-2)^3} = \frac{8+8x^2-16+2(x^4-4x^2+4)}{(x^2-2)^3} $$
$$ = \frac{2x^4}{(x^2-2)^3} $$

б)

$$ \frac{a-c}{a^2+ac+c^2}-\frac{2}{c-a}-\frac{3c^2}{a^3-c^3} = \frac{a-c}{a^2+ac+c^2}+\frac{2}{a-c}-\frac{3c^2}{a^3-c^3} $$

Так как $$a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$$, получаем:
$$ \frac{(a-c)^2+2(a^2+ac+c^2)-3c^2}{a^3-c^3} $$
$$ = \frac{a^2-2ac+c^2+2a^2+2ac+2c^2-3c^2}{a^3-c^3} = \frac{3a^2}{a^3-c^3} $$

в)

$$ \frac{a^2-9}{a-1}\cdot\frac{a-a^4}{3+a}\cdot\frac{1}{(3a-a^2)^2} $$

Разложим на множители:
$$ a^2-9=(a-3)(a+3), \qquad a-a^4=a(1-a^3)=a(1-a)(a^2+a+1), $$
$$ 3a-a^2=a(3-a) $$
Тогда
$$ \frac{(a-3)(a+3)\cdot a(1-a)(a^2+a+1)}{(a-1)(a+3)\cdot a^2(3-a)^2} $$
После сокращения и учёта $$1-a=-(a-1)$$:
$$ -\frac{a^2+a+1}{a(a-3)} = \frac{a^2+a+1}{3a-a^2} $$

г)

$$ \frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{(b-a)^3}:\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3} $$

Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$ \frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{(b-a)^3}\cdot\frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} $$
Разложим:
$$ a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2), $$
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \qquad (b-a)^3=-(a-b)^3 $$
Тогда
$$ \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{-(a-b)^3}\cdot\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2} $$
Сокращаем:
$$ -\frac{a+b}{(a-b)^2} = \frac{a+b}{b-a} $$