Упр.206(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:

а) $$\frac{8}{(x^2-2)^3}+\frac{8}{(2-x^2)^2}-\frac{2}{2-x^2}$$;

б) $$\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}-\frac{2}{c-a}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}$$;

в) $$\frac{a^2-9}{a-1}\cdot\frac{a-a^4}{3+a}\cdot\frac{1}{(3a-a^2)^2}$$;

г) $$\frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{(b-a)^3}:\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}$$.

Подробный ответ

а)

$$\frac{8}{(x^2-2)^3}+\frac{8}{(2-x^2)^2}-\frac{2}{2-x^2} = \frac{8}{(x^2-2)^3}+\frac{8}{(x^2-2)^2}+\frac{2}{x^2-2}$$

Приведём к общему знаменателю $$(x^2-2)^3$$:
$$\frac{8+8(x^2-2)+2(x^2-2)^2}{(x^2-2)^3} = \frac{8+8x^2-16+2(x^4-4x^2+4)}{(x^2-2)^3}$$
$$= \frac{2x^4}{(x^2-2)^3}$$

б)

$$\frac{a-c}{a^2+ac+c^2}-\frac{2}{c-a}-\frac{3c^2}{a^3-c^3} = \frac{a-c}{a^2+ac+c^2}+\frac{2}{a-c}-\frac{3c^2}{a^3-c^3}$$

Так как $$a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$$, получаем:
$$\frac{(a-c)^2+2(a^2+ac+c^2)-3c^2}{a^3-c^3}$$
$$= \frac{a^2-2ac+c^2+2a^2+2ac+2c^2-3c^2}{a^3-c^3} = \frac{3a^2}{a^3-c^3}$$

в)

$$\frac{a^2-9}{a-1}\cdot\frac{a-a^4}{3+a}\cdot\frac{1}{(3a-a^2)^2}$$

Разложим на множители:
$$a^2-9=(a-3)(a+3), \qquad a-a^4=a(1-a^3)=a(1-a)(a^2+a+1),$$
$$3a-a^2=a(3-a)$$
Тогда
$$\frac{(a-3)(a+3)\cdot a(1-a)(a^2+a+1)}{(a-1)(a+3)\cdot a^2(3-a)^2}$$
После сокращения и учёта $$1-a=-(a-1)$$:
$$-\frac{a^2+a+1}{a(a-3)} = \frac{a^2+a+1}{3a-a^2}$$

г)

$$\frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{(b-a)^3}:\frac{a^2+b^2}{a^3-b^3}$$

Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$\frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{(b-a)^3}\cdot\frac{a^3-b^3}{a^2+b^2}$$
Разложим:
$$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2),$$
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \qquad (b-a)^3=-(a-b)^3$$
Тогда
$$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2}\cdot\frac{1}{-(a-b)^3}\cdot\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2}$$
Сокращаем:
$$-\frac{a+b}{(a-b)^2} = \frac{a+b}{b-a}$$