Упр.2.47 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1) Пользуясь этим приемом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.
2) Приведите пример натурального числа a, делителем которого является число va.
3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа a меньше va, то другой больше va.
4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничится для нахождения всех делителей числа a? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?

1. Выпишем делители числа вместе с соответствующими частными:

   $$18: 1 \cdot 18,\; 2 \cdot 9,\; 3 \cdot 6$$

   Значит, все делители числа $$18$$: $$1, 2, 3, 6, 9, 18$$.

   $$36: 1 \cdot 36,\; 2 \cdot 18,\; 3 \cdot 12,\; 4 \cdot 9,\; 6 \cdot 6$$

   Все делители числа $$36$$: $$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$$.

   $$50: 1 \cdot 50,\; 2 \cdot 25,\; 5 \cdot 10$$

   Все делители числа $$50$$: $$1, 2, 5, 10, 25, 50$$.

2. Пример: пусть $$a=81$$. Тогда $$\sqrt{a}=\sqrt{81}=9$$, и число $$9$$ является делителем числа $$81$$.

   Подходит любое натуральное число, являющееся квадратом натурального числа.

3. Пусть $$x$$ — делитель числа $$a$$, причём $$x<\sqrt{a}$$. Тогда парный ему делитель равен $$\dfrac{a}{x}$$.

   Так как $$x<\sqrt{a}$$, то при делении числа $$a$$ на меньшее число получаем большее частное:

   $$\frac{a}{x} > \frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$$

   Значит, если один из пары делителей меньше $$\sqrt{a}$$, то другой больше $$\sqrt{a}$$.

4. Чтобы найти все делители числа $$a$$, достаточно проверять делители до $$\sqrt{a}$$ включительно. Если $$a$$ не является точным квадратом, то перебор можно ограничить наибольшим целым числом, не превосходящим $$\sqrt{a}$$.

   Для числа $$144$$:

   $$\sqrt{144}=12$$

   Перебор нужно вести до $$12$$.

   Для числа $$238$$:

   $$\sqrt{238}\approx 15{,}4$$

   Значит, перебор нужно вести до $$15$$.

Ответ

1) $$18: 1, 2, 3, 6, 9, 18$$; $$36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$$; $$50: 1, 2, 5, 10, 25, 50$$.
2) Например, $$a=81$$.
3) Если один делитель меньше $$\sqrt{a}$$, то другой больше $$\sqrt{a}$$.
4) До $$\sqrt{a}$$ включительно; для $$144$$ — до $$12$$, для $$238$$ — до $$15$$.