Упр.2.183 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

v(a-bvc) =v((a+v(a^2-b^2 c))/2)-v((a-v(a^2-b^2 c))/2),где b > 0.
Примените эту формулу для упрощения выражения v(57-12v15 ).

Докажем формулу

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}, \quad b>0.$$

Пусть

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}.$$

Тогда

$$a-b\sqrt{c}=x+y-2\sqrt{xy}.$$

Сравнивая части, получаем систему:

$$x+y=a,$$

$$2\sqrt{xy}=b\sqrt{c}.$$

Отсюда

$$x=\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}, \qquad y=\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}.$$

Проверим:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}=a,$$

$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}\cdot\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$$

$$=\sqrt{(a+\sqrt{a^2-b^2c})(a-\sqrt{a^2-b^2c})}$$

$$=\sqrt{a^2-(a^2-b^2c)}=\sqrt{b^2c}=b\sqrt{c}.$$

Значит, формула верна.

Теперь применим её к выражению $$\sqrt{57-12\sqrt{15}}.$$

Здесь $$a=57,\; b=12,\; c=15.$$ Тогда

$$a^2-b^2c=57^2-12^2\cdot 15=3249-2160=1089,$$

$$\sqrt{1089}=33.$$

Следовательно,

$$\sqrt{57-12\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{57+33}{2}}-\sqrt{\frac{57-33}{2}}$$

$$=\sqrt{45}-\sqrt{12}=3\sqrt{5}-2\sqrt{3}.$$

Ответ

$$\sqrt{57-12\sqrt{15}}=3\sqrt{5}-2\sqrt{3}.$$