Упр.2.181 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

v(a+bvc) =v((a+v(a^2-b^2 c))/2)+v((a-v(a^2-b^2 c))/2),где b > 0.

Обозначим

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$

Тогда

$$a+b\sqrt{c}=x+y+2\sqrt{xy}.$$

Сравнивая рациональную и иррациональную части, получаем систему:

$$x+y=a,$$

$$2\sqrt{xy}=b\sqrt{c}.$$

Пусть

$$x=\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}, \qquad y=\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}.$$

Тогда

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}=a,$$

а также

$$ 2\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}\cdot \frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}} $$

$$ =2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b^2c)}{4}} =2\sqrt{\frac{b^2c}{4}} =\sqrt{b^2c} =|b|\sqrt{c}. $$

Так как $$b>0,$$ то $$|b|=b,$$ значит

$$2\sqrt{xy}=b\sqrt{c}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}.$$

Ответ

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}, \qquad b>0.$$