Упр.2.180 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) v(17-12v2) ;
б) 2v(v(14+6v5) ) .

а) Пусть

$$\sqrt{17-12\sqrt2}=x-y\sqrt2.$$

Тогда

$$17-12\sqrt2=(x-y\sqrt2)^2=x^2-2xy\sqrt2+2y^2.$$

Сравнивая рациональную и иррациональную части, получаем систему:

$$ \begin{cases} x^2+2y^2=17,\\ 2xy=12. \end{cases} $$

Отсюда $$xy=6.$$ Подходит пара $$x=3,\ y=2$$, так как

$$3^2+2\cdot 2^2=9+8=17.$$

Значит,

$$\sqrt{17-12\sqrt2}=3-2\sqrt2.$$

б) Сначала найдём значение выражения под внешним корнем:

$$\sqrt{14+6\sqrt5}=x+y\sqrt5.$$

Тогда

$$14+6\sqrt5=(x+y\sqrt5)^2=x^2+2xy\sqrt5+5y^2.$$

Сравнивая части, получаем:

$$ \begin{cases} x^2+5y^2=14,\\ 2xy=6. \end{cases} $$

Отсюда $$xy=3.$$ Подходит пара $$x=3,\ y=1$$, так как

$$3^2+5\cdot 1^2=9+5=14.$$

Значит,

$$\sqrt{14+6\sqrt5}=3+\sqrt5.$$

Теперь

$$2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt5}}=2\sqrt{3+\sqrt5}.$$

Представим

$$\sqrt{3+\sqrt5}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$

Тогда

$$3+\sqrt5=x+y+2\sqrt{xy}.$$

Следовательно,

$$ \begin{cases} x+y=3,\\ 2\sqrt{xy}=\sqrt5. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$xy=\frac54.$$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-3t+\frac54=0,$$

откуда $$t=\frac52$$ и $$t=\frac12.$$ Значит,

$$\sqrt{3+\sqrt5}=\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt5}}=\sqrt{10}+\sqrt2.$$

Ответ

а) $$3-2\sqrt2$$; б) $$\sqrt2+\sqrt{10}$$.