Упр.2.178 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение: а) $$\sqrt{27+10\sqrt{2}}$$; б) $$\sqrt{9+4\sqrt{5}}$$.

а) Пусть

$$\sqrt{27+10\sqrt2}=x+y\sqrt2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$27+10\sqrt2=(x+y\sqrt2)^2=x^2+2xy\sqrt2+2y^2.$$

Сравним рациональную и иррациональную части:

$$x^2+2y^2=27,$$

$$2xy=10,$$

откуда

$$xy=5.$$

Подходит, например, $$x=5$$, $$y=1$$. Тогда

$$\sqrt{27+10\sqrt2}=5+\sqrt2.$$

б) Пусть

$$\sqrt{9+4\sqrt5}=x+y\sqrt5.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$9+4\sqrt5=(x+y\sqrt5)^2=x^2+2xy\sqrt5+5y^2.$$

Сравним рациональную и иррациональную части:

$$x^2+5y^2=9,$$

$$2xy=4,$$

откуда

$$xy=2.$$

Подходит, например, $$x=2$$, $$y=1$$. Тогда

$$\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5.$$

Ответ

а) $$5+\sqrt2$$; б) $$2+\sqrt5$$.