Упр.2.164 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: $$2\frac{2}{3},\ 3\frac{3}{8},\ 4\frac{4}{15},\ 5\frac{5}{24},\ldots$$
2. Проверьте равенства: $$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}},\quad \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}},\quad \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}.$$ Составьте несколько аналогичных равенств.
3. Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

1) В последовательности целая часть и числитель идут по порядку, а знаменатель равен произведению двух соседних чисел:

$$2\frac{2}{3},\ 3\frac{3}{8},\ 4\frac{4}{15},\ 5\frac{5}{24},\ 6\frac{6}{35},\ 7\frac{7}{48},\ 8\frac{8}{63}$$

Следующие три числа:

$$9\frac{9}{80},\ 10\frac{10}{99},\ 11\frac{11}{120}$$

2) Проверим равенства:

$$\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot 2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$\sqrt{3\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt{9\cdot 3}}{\sqrt{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$$

$$\sqrt{4\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\frac{\sqrt{16\cdot 4}}{\sqrt{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$$

Аналогично:

$$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}},\qquad \sqrt{6\frac{6}{35}}=6\sqrt{\frac{6}{35}}$$

3) Запишем равенство в буквенном виде и докажем его:

$$\sqrt{a\frac{a}{(a-1)(a+1)}}=a\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{a\frac{a}{(a-1)(a+1)}}=\sqrt{\frac{a^2}{(a-1)(a+1)}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{(a-1)(a+1)}}=\frac{a}{\sqrt{(a-1)(a+1)}}$$

Так как

$$a\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(a-1)(a+1)}},$$

то соответствующее равенство удобно записать в виде:

$$\sqrt{a\frac{a}{(a-1)(a+1)}}=a\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}$$

что и требовалось показать.

Ответ

$$9\frac{9}{80},\ 10\frac{10}{99},\ 11\frac{11}{120}$$

$$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}},\ \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}},\ \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}},\ \sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}},\ \sqrt{6\frac{6}{35}}=6\sqrt{\frac{6}{35}}$$