Упр.2.159 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(1+v2)+1/(v2+v3)+1/(v3+v4)+1/(v4+v5)=v5-1.
2) Упростите выражение:
а) 1/(1+v2)+1/(v2+v3)+?+1/(v99+v100);
б) 1/(1+v2)+1/(v2+v3)+?+1/(v(n-1)+vn).

Подробный ответ

Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1,\quad \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2,\quad \frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}=\sqrt4-\sqrt3,\quad \frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}=\sqrt5-\sqrt4.$$

Складывая, получаем:

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}$$

$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+(\sqrt5-\sqrt4)=\sqrt5-1.$$

Аналогично для суммы в пункте а):

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=10-1=9.$$

Для пункта б):

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt n}$$

$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt n-\sqrt{n-1})=\sqrt n-1.$$