Упр.2.157 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $$\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}$$;

б) $$\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$.

а) Рационализируем знаменатель, умножив дробь на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{1+\sqrt5-\sqrt6}\cdot \frac{1+\sqrt5+\sqrt6}{1+\sqrt5+\sqrt6} = \frac{1+\sqrt5+\sqrt6}{(1+\sqrt5)^2-(\sqrt6)^2}$$
$$= \frac{1+\sqrt5+\sqrt6}{1+2\sqrt5+5-6} = \frac{1+\sqrt5+\sqrt6}{2\sqrt5}$$
$$= \frac{\sqrt5(1+\sqrt5+\sqrt6)}{2\sqrt5\cdot \sqrt5} = \frac{\sqrt5+5+\sqrt{30}}{10}.$$

б) Аналогично умножим дробь на сопряжённое выражение:

$$\frac{12}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}\cdot \frac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \frac{12(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2}$$
$$= \frac{12(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}{2+2\sqrt6+3-5} = \frac{12(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}{2\sqrt6}$$
$$= \frac{12\sqrt6(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}{2\sqrt6\cdot \sqrt6} = \sqrt6(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)$$
$$= \sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{30} = 2\sqrt3+3\sqrt2+\sqrt{30}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt5+5+\sqrt{30}}{10}$$;
б) $$2\sqrt3+3\sqrt2+\sqrt{30}$$.