Упр.2.152 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) v(7-v40) =v5-v2;
б) v(2+v3) =(v3+1)/v2;
в) 1-2v7=v(29-4v7) ;
г) (v3-1)/v2=v(2-v3) ?

1. а) Проверим равенство:

   $$\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt5-\sqrt2.$$

   Так как $$\sqrt{40}=2\sqrt{10},$$ то

   $$7-\sqrt{40}=7-2\sqrt{10}=5+2-2\sqrt{5\cdot 2}=(\sqrt5-\sqrt2)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{(\sqrt5-\sqrt2)^2}=|\sqrt5-\sqrt2|=\sqrt5-\sqrt2,$$

   так как $$\sqrt5>\sqrt2.$$ Равенство верно.

2. б) Проверим равенство:

   $$\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}.$$

   Представим подкоренное выражение в виде квадрата:

   $$2+\sqrt3=\frac32+\frac12+2\sqrt{\frac32\cdot\frac12}=\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac12}\right)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac12}\right)^2}=\sqrt{\frac32}+\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}.$$

   Равенство верно.

3. в) Проверим равенство:

   $$1-2\sqrt7=\sqrt{29-4\sqrt7}.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$29-4\sqrt7=28+1-4\sqrt7=\left(\sqrt{28}-1\right)^2.$$

   Значит,

   $$\sqrt{29-4\sqrt7}=\sqrt{(\sqrt{28}-1)^2}=|\sqrt{28}-1|=2\sqrt7-1.$$

   Получаем $$2\sqrt7-1\ne 1-2\sqrt7,$$ значит, равенство неверно.

4. г) Проверим равенство:

   $$\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}=\sqrt{2-\sqrt3}.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$2-\sqrt3=\frac32+\frac12-2\sqrt{\frac32\cdot\frac12}=\left(\sqrt{\frac32}-\sqrt{\frac12}\right)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac32}-\sqrt{\frac12}\right)^2}=\sqrt{\frac32}-\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}.$$

   Равенство верно.

Ответ

а) верно; б) верно; в) неверно; г) верно.