Упр.2.150 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Упростите: а) $$(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}})^2$$; б) $$(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4})^2$$.

а) Обозначим $$a=\sqrt{10-\sqrt{19}}, \quad b=\sqrt{10+\sqrt{19}}.$$ Тогда

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Вычислим:

$$a^2=10-\sqrt{19}, \quad b^2=10+\sqrt{19},$$

$$ab=\sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}=\sqrt{100-19}=\sqrt{81}=9.$$

Тогда

$$(a+b)^2=(10-\sqrt{19})+2\cdot 9+(10+\sqrt{19})=20+18=38.$$

б) Обозначим $$a=\sqrt{2\sqrt5+4}, \quad b=\sqrt{2\sqrt5-4}.$$ Тогда

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Вычислим:

$$a^2=2\sqrt5+4, \quad b^2=2\sqrt5-4,$$

$$ab=\sqrt{(2\sqrt5+4)(2\sqrt5-4)}=\sqrt{(2\sqrt5)^2-4^2}=\sqrt{20-16}=\sqrt4=2.$$

Тогда

$$(a-b)^2=(2\sqrt5+4)-2\cdot 2+(2\sqrt5-4)=4\sqrt5-4.$$

Ответ

а) $$38$$; б) $$4\sqrt5-4$$.