Упр.1.99 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) (x/(x+1)+(x^2+1)/(1-x^2 )-x/(x-1)) :(x+x^2)/(1-x)^2 ;
б) (a-5)^2/(a^2+5a) :(5/(a+5)-(a^2+25)/(a^2-25)-5/(5-a));
в) ((1+x)/(x^2-xy)-(1-y)/(y^2-xy)) :(x^2+y^2+2xy)/(x^2 y-xy^2 )-x/(x^2-y^2 );
г) 4/(b^2-4)+4b/(4-4b+b^2 )•(2/(2b+b^2 )-b/(4+2b)).

1. а)

   $$\left(\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{1-x^2}-\frac{x}{x-1}\right):\frac{x+x^2}{(1-x)^2}$$

   $$\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{1-x^2}-\frac{x}{x-1} =\frac{x}{x+1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}-\frac{x}{x-1}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{x(x-1)-(x^2+1)-x(x+1)}{x^2-1} =\frac{-x^2-2x-1}{x^2-1} =-\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}$$

   Тогда
   $$-\frac{(x+1)^2}{x^2-1}:\frac{x+x^2}{(1-x)^2} =-\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(1-x)^2}{x(x+1)}$$

   После сокращения получаем
   $$\frac{1-x}{x}$$

2. б)

   $$\frac{(a-5)^2}{a^2+5a}:\left(\frac{5}{a+5}-\frac{a^2+25}{a^2-25}-\frac{5}{5-a}\right)$$

   Так как $$\frac{5}{5-a}=-\frac{5}{a-5},$$ то
   $$\frac{5}{a+5}-\frac{a^2+25}{a^2-25}-\frac{5}{5-a} =\frac{5}{a+5}-\frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)}+\frac{5}{a-5}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{5(a-5)-(a^2+25)+5(a+5)}{a^2-25} =\frac{-a^2+10a-25}{a^2-25} =-\frac{(a-5)^2}{(a-5)(a+5)}$$

   Тогда
   $$\frac{(a-5)^2}{a^2+5a}:\left(-\frac{(a-5)^2}{a^2-25}\right) =\frac{(a-5)^2}{a(a+5)}\cdot\frac{(a-5)(a+5)}{-(a-5)^2}$$

   Получаем
   $$\frac{5-a}{a}$$

3. в)

   $$\left(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}\right):\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2}-\frac{x}{x^2-y^2}$$

   Упростим дроби:
   $$x^2-xy=x(x-y), \quad y^2-xy=y(y-x), \quad x^2y-xy^2=xy(x-y)$$

   Тогда
   $$\frac{1+x}{x(x-y)}-\frac{1-y}{y(y-x)} =\frac{1+x}{x(x-y)}+\frac{1-y}{y(x-y)}$$

   $$=\frac{y(1+x)+x(1-y)}{xy(x-y)} =\frac{x+y}{xy(x-y)}$$

   А
   $$\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} =\frac{(x+y)^2}{xy(x-y)}$$

   Поэтому
   $$\left(\frac{x+y}{xy(x-y)}\right):\left(\frac{(x+y)^2}{xy(x-y)}\right) =\frac{1}{x+y}$$

   И всё выражение равно
   $$\frac{1}{x+y}-\frac{x}{x^2-y^2} =\frac{1}{x+y}-\frac{x}{(x-y)(x+y)}$$

   $$=\frac{x-y-x}{x^2-y^2} =-\frac{y}{x^2-y^2} =\frac{y}{y^2-x^2}$$

4. г)

   $$\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{4-4b+b^2}\left(\frac{2}{2b+b^2}-\frac{b}{4+2b}\right)$$

   Заметим:
   $$4-4b+b^2=(2-b)^2,\quad 2b+b^2=b(b+2),\quad 4+2b=2(b+2)$$

   Тогда
   $$\frac{2}{2b+b^2}-\frac{b}{4+2b} =\frac{2}{b(b+2)}-\frac{b}{2(b+2)} =\frac{4-b^2}{2b(b+2)}$$

   Подставим:
   $$\frac{4}{b^2-4}+\frac{4b}{(2-b)^2}\cdot\frac{4-b^2}{2b(b+2)}$$

   Так как $$4-b^2=-(b-2)(b+2),$$ получаем
   $$\frac{4}{b^2-4}-\frac{2}{b-2}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{4-2(b+2)}{b^2-4} =\frac{-2b}{b^2-4} =\frac{2b}{4-b^2}$$

Ответ

а) $$\frac{1-x}{x}$$; б) $$\frac{5-a}{a}$$; в) $$\frac{y}{y^2-x^2}$$; г) $$\frac{2b}{4-b^2}$$.