Упр.1.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1) Заметим общий вид равенств:

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{2\cdot 3},$$
$$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac{1}{3\cdot 4},$$
$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{4\cdot 5}=\frac{1}{4\cdot 5}.$$

Продолжение цепочки:

$$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5\cdot 6}=\frac{1}{5\cdot 6}.$$

Общее буквенное равенство:

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.$$

2) Используем это равенство:

а)
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$$
$$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$
$$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

б)
$$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)}$$
$$=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}\right)$$
$$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100} =\frac{x+100-x}{x(x+100)} =\frac{100}{x(x+100)}.$$

3) Если складывать дроби последовательно, получится тот же результат, так как в сумме происходит сокращение промежуточных слагаемых:

а)
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}.$$

б)
$$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}.$$

Ответ

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}; \quad \frac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}; \quad \frac{1}{x(x+1)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}.$$