Упр.1.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1/2-1/3=1/(2•3); 1/3-1/4=1/(3•4); 1/4-1/5=1/(4•5); 1/5-1/6=1/(5•6).
Продолжите эту цепочку равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.
2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:
а) 1/(1•2)+1/(2•3)+1/(3•4)+?+1/n(n+1) ;
б) 1/x(x+1) +1/(x+1)(x+2) +?+1/(x+99)(x+100).
3) Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Получился ли тот же результат?

1) Заметим общий вид равенств:

$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{2\cdot 3}, $$
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac{1}{3\cdot 4}, $$
$$ \frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{4\cdot 5}=\frac{1}{4\cdot 5}. $$

Продолжение цепочки:

$$ \frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5\cdot 6}=\frac{1}{5\cdot 6}. $$

Общее буквенное равенство:

$$ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}. $$

2) Используем это равенство:

а)
$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} $$
$$ =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) $$
$$ =1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}. $$

б)
$$ \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)} $$
$$ =\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}\right) $$
$$ =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100} =\frac{x+100-x}{x(x+100)} =\frac{100}{x(x+100)}. $$

3) Если складывать дроби последовательно, получится тот же результат, так как в сумме происходит сокращение промежуточных слагаемых:

а)
$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}. $$

б)
$$ \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}. $$

Ответ

$$ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}; \quad \frac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}; \quad \frac{1}{x(x+1)}+\cdots+\frac{1}{(x+99)(x+100)}=\frac{100}{x(x+100)}. $$