Упр.1.71 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) $$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$;
   б) $$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}$$.

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$$
$$=\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}$$
$$=\frac{b-c-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$$
$$=\frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0.$$

б) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{(a+2)(a+3)+a(a+3)+a(a+1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{a^2+5a+6+a^2+3a+a^2+a}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{3a^2+9a+6}{a(a+1)(a+2)(a+3)} =\frac{3(a^2+3a+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{3(a+1)(a+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)} =\frac{3}{a(a+3)}.$$

Ответ

а) $$0$$;
б) $$\frac{3}{a(a+3)}$$.