Упр.1.66 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 4/a+4/(a^2-a)-2/(a+1);
б) (x-2)/(x+2)-(x+2)/(x-2)+8/x;
в) (x+1)/(x-1)^2 -1/(x-1)+1/x;
г) 1/(m+n)-(m+n)/(m^2-mn+n^2 )+4mn/(m^3+n^3 ).

Подробный ответ

а)

$$ \frac{4}{a}+\frac{4}{a^2-a}-\frac{2}{a+1} = \frac{4}{a}+\frac{4}{a(a-1)}-\frac{2}{a+1} $$
Приведём к общему знаменателю $$a(a-1)(a+1)$$:
$$ \frac{4(a-1)(a+1)+4(a+1)-2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)} $$
$$ \frac{4(a^2-1)+4a+4-2a^2+2a}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+6a}{a(a-1)(a+1)} $$
$$ \frac{2a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a+6}{a^2-1} $$

б)

$$ \frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}+\frac{8}{x} = \frac{x(x-2)^2-x(x+2)^2+8(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)} $$
$$ = \frac{x(x^2-4x+4)-x(x^2+4x+4)+8(x^2-4)}{x(x^2-4)} $$
$$ = \frac{x^3-4x^2+4x-x^3-4x^2-4x+8x^2-32}{x(x^2-4)} = \frac{-32}{x(x^2-4)} $$
$$ = -\frac{32}{x(x^2-4)} $$

в)

$$ \frac{x+1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x} = \frac{x(x+1)-x(x-1)+(x-1)^2}{x(x-1)^2} $$
$$ = \frac{x^2+x-x^2+x+x^2-2x+1}{x(x-1)^2} = \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} $$

г)

$$ \frac{1}{m+n}-\frac{m+n}{m^2-mn+n^2}+\frac{4mn}{m^3+n^3} $$
Так как
$$ m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2), $$
то приводим к общему знаменателю $$m^3+n^3$$:
$$ \frac{m^2-mn+n^2-(m+n)^2+4mn}{m^3+n^3} $$
$$ = \frac{m^2-mn+n^2-m^2-2mn-n^2+4mn}{m^3+n^3} = \frac{mn}{m^3+n^3} $$